ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addpinq1 Unicode version

Theorem addpinq1 6716
Description: Addition of one to the numerator of a fraction whose denominator is one. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
addpinq1  |-  ( A  e.  N.  ->  [ <. ( A  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  =  ( [ <. A ,  1o >. ]  ~Q  +Q  1Q ) )

Proof of Theorem addpinq1
StepHypRef Expression
1 df-1nqqs 6603 . . . . 5  |-  1Q  =  [ <. 1o ,  1o >. ]  ~Q
21oveq2i 5554 . . . 4  |-  ( [
<. A ,  1o >. ]  ~Q  +Q  1Q )  =  ( [ <. A ,  1o >. ]  ~Q  +Q  [ <. 1o ,  1o >. ]  ~Q  )
3 1pi 6567 . . . . 5  |-  1o  e.  N.
4 addpipqqs 6622 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  /\  ( 1o  e.  N.  /\  1o  e.  N. )
)  ->  ( [ <. A ,  1o >. ]  ~Q  +Q  [ <. 1o ,  1o >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
( A  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o )
>. ]  ~Q  )
53, 3, 4mpanr12 430 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( [ <. A ,  1o >. ]  ~Q  +Q  [
<. 1o ,  1o >. ]  ~Q  )  =  [ <. ( ( A  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o ) >. ]  ~Q  )
63, 5mpan2 416 . . . 4  |-  ( A  e.  N.  ->  ( [ <. A ,  1o >. ]  ~Q  +Q  [ <. 1o ,  1o >. ]  ~Q  )  =  [ <. ( ( A  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o ) >. ]  ~Q  )
72, 6syl5eq 2126 . . 3  |-  ( A  e.  N.  ->  ( [ <. A ,  1o >. ]  ~Q  +Q  1Q )  =  [ <. (
( A  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o )
>. ]  ~Q  )
8 mulidpi 6570 . . . . . . 7  |-  ( 1o  e.  N.  ->  ( 1o  .N  1o )  =  1o )
93, 8ax-mp 7 . . . . . 6  |-  ( 1o 
.N  1o )  =  1o
109oveq2i 5554 . . . . 5  |-  ( ( A  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) )  =  ( ( A  .N  1o )  +N  1o )
1110, 9opeq12i 3583 . . . 4  |-  <. (
( A  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o )
>.  =  <. ( ( A  .N  1o )  +N  1o ) ,  1o >.
12 eceq1 6207 . . . 4  |-  ( <.
( ( A  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o ) >.  =  <. ( ( A  .N  1o )  +N  1o ) ,  1o >.  ->  [ <. ( ( A  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o )
>. ]  ~Q  =  [ <. ( ( A  .N  1o )  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )
1311, 12ax-mp 7 . . 3  |-  [ <. ( ( A  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o )
>. ]  ~Q  =  [ <. ( ( A  .N  1o )  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q
147, 13syl6eq 2130 . 2  |-  ( A  e.  N.  ->  ( [ <. A ,  1o >. ]  ~Q  +Q  1Q )  =  [ <. (
( A  .N  1o )  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )
15 mulidpi 6570 . . . . 5  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A  .N  1o )  =  A )
1615oveq1d 5558 . . . 4  |-  ( A  e.  N.  ->  (
( A  .N  1o )  +N  1o )  =  ( A  +N  1o ) )
1716opeq1d 3584 . . 3  |-  ( A  e.  N.  ->  <. (
( A  .N  1o )  +N  1o ) ,  1o >.  =  <. ( A  +N  1o ) ,  1o >. )
1817eceq1d 6208 . 2  |-  ( A  e.  N.  ->  [ <. ( ( A  .N  1o )  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  =  [ <. ( A  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )
1914, 18eqtr2d 2115 1  |-  ( A  e.  N.  ->  [ <. ( A  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  =  ( [ <. A ,  1o >. ]  ~Q  +Q  1Q ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   <.cop 3409  (class class class)co 5543   1oc1o 6058   [cec 6170   N.cnpi 6524    +N cpli 6525    .N cmi 6526    ~Q ceq 6531   1Qc1q 6533    +Q cplq 6534
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-irdg 6019  df-1o 6065  df-oadd 6069  df-omul 6070  df-er 6172  df-ec 6174  df-qs 6178  df-ni 6556  df-pli 6557  df-mi 6558  df-plpq 6596  df-enq 6599  df-nqqs 6600  df-plqqs 6601  df-1nqqs 6603
This theorem is referenced by:  pitonnlem2  7077
  Copyright terms: Public domain W3C validator