Theorem appdivnq 7371

Description: Approximate division for positive rationals. Proposition 12.7 of [BauerTaylor], p. 55 (a special case where A and B are positive, as well as C). Our proof is simpler than the one in BauerTaylor because we have reciprocals. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
appdivnq	|- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> E. m e. Q. ( A <Q ( m .Q C ) /\ ( m .Q C ) <Q B ) )

Distinct variable groups:   A, m   B, m   C, m

Proof of Theorem appdivnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . . 4 |- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> A <Q B )
2		ltrelnq 7173	. . . . . . . 8 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
3	2	brel 4591	. . . . . . 7 |- ( A <Q B -> ( A e. Q. /\ B e. Q. ) )
4	3	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> ( A e. Q. /\ B e. Q. ) )
5	4	simpld 111	. . . . 5 |- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> A e. Q. )
6	4	simprd 113	. . . . 5 |- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> B e. Q. )
7		recclnq 7200	. . . . . 6 |- ( C e. Q. -> ( *Q ` C ) e. Q. )
8	7	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> ( *Q ` C ) e. Q. )
9		ltmnqg 7209	. . . . 5 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ ( *Q ` C ) e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) )
10	5, 6, 8, 9	syl3anc 1216	. . . 4 |- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) )
11	1, 10	mpbid 146	. . 3 |- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) )
12		ltbtwnnqq 7223	. . 3 |- ( ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) <-> E. m e. Q. ( ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q m /\ m <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) )
13	11, 12	sylib 121	. 2 |- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> E. m e. Q. ( ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q m /\ m <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) )
14	8	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( *Q ` C ) e. Q. )
15	5	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> A e. Q. )
16		mulclnq 7184	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( *Q ` C ) e. Q. /\ A e. Q. ) -> ( ( *Q ` C ) .Q A ) e. Q. )
17	14, 15, 16	syl2anc 408	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( *Q ` C ) .Q A ) e. Q. )
18		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> m e. Q. )
19		simplr 519	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> C e. Q. )
20		ltmnqg 7209	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( *Q ` C ) .Q A ) e. Q. /\ m e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q m <-> ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q A ) ) <Q ( C .Q m ) ) )
21	17, 18, 19, 20	syl3anc 1216	. . . . . . 7 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q m <-> ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q A ) ) <Q ( C .Q m ) ) )
22		recidnq 7201	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. Q. -> ( C .Q ( *Q ` C ) ) = 1Q )
23	22	oveq1d 5789	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. Q. -> ( ( C .Q ( *Q ` C ) ) .Q A ) = ( 1Q .Q A ) )
24	23	ad2antlr 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( C .Q ( *Q ` C ) ) .Q A ) = ( 1Q .Q A ) )
25		mulassnqg 7192	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. Q. /\ ( *Q ` C ) e. Q. /\ A e. Q. ) -> ( ( C .Q ( *Q ` C ) ) .Q A ) = ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q A ) ) )
26	19, 14, 15, 25	syl3anc 1216	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( C .Q ( *Q ` C ) ) .Q A ) = ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q A ) ) )
27		1nq 7174	. . . . . . . . . . . 12 |- 1Q e. Q.
28		mulcomnqg 7191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1Q e. Q. /\ A e. Q. ) -> ( 1Q .Q A ) = ( A .Q 1Q ) )
29	27, 28	mpan 420	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Q. -> ( 1Q .Q A ) = ( A .Q 1Q ) )
30		mulidnq 7197	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Q. -> ( A .Q 1Q ) = A )
31	29, 30	eqtrd 2172	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. Q. -> ( 1Q .Q A ) = A )
32	15, 31	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( 1Q .Q A ) = A )
33	24, 26, 32	3eqtr3d 2180	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q A ) ) = A )
34	33	breq1d 3939	. . . . . . 7 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q A ) ) <Q ( C .Q m ) <-> A <Q ( C .Q m ) ) )
35	21, 34	bitrd 187	. . . . . 6 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q m <-> A <Q ( C .Q m ) ) )
36	6	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> B e. Q. )
37		mulclnq 7184	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( *Q ` C ) e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( *Q ` C ) .Q B ) e. Q. )
38	14, 36, 37	syl2anc 408	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( *Q ` C ) .Q B ) e. Q. )
39		ltmnqg 7209	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. Q. /\ ( ( *Q ` C ) .Q B ) e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( m <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) <-> ( C .Q m ) <Q ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) ) )
40	18, 38, 19, 39	syl3anc 1216	. . . . . . 7 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( m <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) <-> ( C .Q m ) <Q ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) ) )
41	22	oveq1d 5789	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. Q. -> ( ( C .Q ( *Q ` C ) ) .Q B ) = ( 1Q .Q B ) )
42	41	ad2antlr 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( C .Q ( *Q ` C ) ) .Q B ) = ( 1Q .Q B ) )
43		mulassnqg 7192	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. Q. /\ ( *Q ` C ) e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( C .Q ( *Q ` C ) ) .Q B ) = ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) )
44	19, 14, 36, 43	syl3anc 1216	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( C .Q ( *Q ` C ) ) .Q B ) = ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) )
45		mulcomnqg 7191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1Q e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( 1Q .Q B ) = ( B .Q 1Q ) )
46	27, 45	mpan 420	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. Q. -> ( 1Q .Q B ) = ( B .Q 1Q ) )
47		mulidnq 7197	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. Q. -> ( B .Q 1Q ) = B )
48	46, 47	eqtrd 2172	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. Q. -> ( 1Q .Q B ) = B )
49	36, 48	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( 1Q .Q B ) = B )
50	42, 44, 49	3eqtr3d 2180	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) = B )
51	50	breq2d 3941	. . . . . . 7 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( C .Q m ) <Q ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) <-> ( C .Q m ) <Q B ) )
52	40, 51	bitrd 187	. . . . . 6 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( m <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) <-> ( C .Q m ) <Q B ) )
53	35, 52	anbi12d 464	. . . . 5 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q m /\ m <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) <-> ( A <Q ( C .Q m ) /\ ( C .Q m ) <Q B ) ) )
54		mulcomnqg 7191	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. Q. /\ m e. Q. ) -> ( C .Q m ) = ( m .Q C ) )
55	19, 18, 54	syl2anc 408	. . . . . . 7 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( C .Q m ) = ( m .Q C ) )
56	55	breq2d 3941	. . . . . 6 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( A <Q ( C .Q m ) <-> A <Q ( m .Q C ) ) )
57	55	breq1d 3939	. . . . . 6 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( C .Q m ) <Q B <-> ( m .Q C ) <Q B ) )
58	56, 57	anbi12d 464	. . . . 5 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( A <Q ( C .Q m ) /\ ( C .Q m ) <Q B ) <-> ( A <Q ( m .Q C ) /\ ( m .Q C ) <Q B ) ) )
59	53, 58	bitrd 187	. . . 4 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q m /\ m <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) <-> ( A <Q ( m .Q C ) /\ ( m .Q C ) <Q B ) ) )
60	59	biimpd 143	. . 3 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q m /\ m <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) -> ( A <Q ( m .Q C ) /\ ( m .Q C ) <Q B ) ) )
61	60	reximdva 2534	. 2 |- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> ( E. m e. Q. ( ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q m /\ m <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) -> E. m e. Q. ( A <Q ( m .Q C ) /\ ( m .Q C ) <Q B ) ) )
62	13, 61	mpd 13	1 |- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> E. m e. Q. ( A <Q ( m .Q C ) /\ ( m .Q C ) <Q B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   E.wrex 2417   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   Q.cnq 7088   1Qc1q 7089   .Q cmq 7091   *Qcrq 7092   <Q cltq 7093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7112  df-pli 7113  df-mi 7114  df-lti 7115  df-plpq 7152  df-mpq 7153  df-enq 7155  df-nqqs 7156  df-plqqs 7157  df-mqqs 7158  df-1nqqs 7159  df-rq 7160  df-ltnqqs 7161

This theorem is referenced by:  appdiv0nq  7372  mullocpr  7379