Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  appdivnq Unicode version

Theorem appdivnq 6804
 Description: Approximate division for positive rationals. Proposition 12.7 of [BauerTaylor], p. 55 (a special case where and are positive, as well as ). Our proof is simpler than the one in BauerTaylor because we have reciprocals. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
appdivnq
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem appdivnq
StepHypRef Expression
1 simpl 107 . . . 4
2 ltrelnq 6606 . . . . . . . 8
32brel 4412 . . . . . . 7
43adantr 270 . . . . . 6
54simpld 110 . . . . 5
64simprd 112 . . . . 5
7 recclnq 6633 . . . . . 6
87adantl 271 . . . . 5
9 ltmnqg 6642 . . . . 5
105, 6, 8, 9syl3anc 1170 . . . 4
111, 10mpbid 145 . . 3
12 ltbtwnnqq 6656 . . 3
1311, 12sylib 120 . 2
148adantr 270 . . . . . . . . 9
155adantr 270 . . . . . . . . 9
16 mulclnq 6617 . . . . . . . . 9
1714, 15, 16syl2anc 403 . . . . . . . 8
18 simpr 108 . . . . . . . 8
19 simplr 497 . . . . . . . 8
20 ltmnqg 6642 . . . . . . . 8
2117, 18, 19, 20syl3anc 1170 . . . . . . 7
22 recidnq 6634 . . . . . . . . . . 11
2322oveq1d 5552 . . . . . . . . . 10
2423ad2antlr 473 . . . . . . . . 9
25 mulassnqg 6625 . . . . . . . . . 10
2619, 14, 15, 25syl3anc 1170 . . . . . . . . 9
27 1nq 6607 . . . . . . . . . . . 12
28 mulcomnqg 6624 . . . . . . . . . . . 12
2927, 28mpan 415 . . . . . . . . . . 11
30 mulidnq 6630 . . . . . . . . . . 11
3129, 30eqtrd 2114 . . . . . . . . . 10
3215, 31syl 14 . . . . . . . . 9
3324, 26, 323eqtr3d 2122 . . . . . . . 8
3433breq1d 3797 . . . . . . 7
3521, 34bitrd 186 . . . . . 6
366adantr 270 . . . . . . . . 9
37 mulclnq 6617 . . . . . . . . 9
3814, 36, 37syl2anc 403 . . . . . . . 8
39 ltmnqg 6642 . . . . . . . 8
4018, 38, 19, 39syl3anc 1170 . . . . . . 7
4122oveq1d 5552 . . . . . . . . . 10
4241ad2antlr 473 . . . . . . . . 9
43 mulassnqg 6625 . . . . . . . . . 10
4419, 14, 36, 43syl3anc 1170 . . . . . . . . 9
45 mulcomnqg 6624 . . . . . . . . . . . 12
4627, 45mpan 415 . . . . . . . . . . 11
47 mulidnq 6630 . . . . . . . . . . 11
4846, 47eqtrd 2114 . . . . . . . . . 10
4936, 48syl 14 . . . . . . . . 9
5042, 44, 493eqtr3d 2122 . . . . . . . 8
5150breq2d 3799 . . . . . . 7
5240, 51bitrd 186 . . . . . 6
5335, 52anbi12d 457 . . . . 5
54 mulcomnqg 6624 . . . . . . . 8
5519, 18, 54syl2anc 403 . . . . . . 7
5655breq2d 3799 . . . . . 6
5755breq1d 3797 . . . . . 6
5856, 57anbi12d 457 . . . . 5
5953, 58bitrd 186 . . . 4
6059biimpd 142 . . 3
6160reximdva 2464 . 2
6213, 61mpd 13 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 102   wb 103   wceq 1285   wcel 1434  wrex 2350   class class class wbr 3787  cfv 4926  (class class class)co 5537  cnq 6521  c1q 6522   cmq 6524  crq 6525   cltq 6526 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3895  ax-sep 3898  ax-nul 3906  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-iinf 4331 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3253  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-tr 3878  df-eprel 4046  df-id 4050  df-po 4053  df-iso 4054  df-iord 4123  df-on 4125  df-suc 4128  df-iom 4334  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-f1 4931  df-fo 4932  df-f1o 4933  df-fv 4934  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-irdg 6013  df-1o 6059  df-oadd 6063  df-omul 6064  df-er 6165  df-ec 6167  df-qs 6171  df-ni 6545  df-pli 6546  df-mi 6547  df-lti 6548  df-plpq 6585  df-mpq 6586  df-enq 6588  df-nqqs 6589  df-plqqs 6590  df-mqqs 6591  df-1nqqs 6592  df-rq 6593  df-ltnqqs 6594 This theorem is referenced by:  appdiv0nq  6805  mullocpr  6812
 Copyright terms: Public domain W3C validator