Theorem apsqgt0 7768

Description: The square of a real number apart from zero is positive. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
apsqgt0	|- ( ( A e. RR /\ A # 0 ) -> 0 < ( A x. A ) )

Proof of Theorem apsqgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 7181	. . . 4 |- 0 e. RR
2		reaplt 7755	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( A # 0 <-> ( A < 0 \/ 0 < A ) ) )
3	1, 2	mpan2 416	. . 3 |- ( A e. RR -> ( A # 0 <-> ( A < 0 \/ 0 < A ) ) )
4	3	pm5.32i 442	. 2 |- ( ( A e. RR /\ A # 0 ) <-> ( A e. RR /\ ( A < 0 \/ 0 < A ) ) )
5		mullt0 7651	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ A < 0 ) /\ ( A e. RR /\ A < 0 ) ) -> 0 < ( A x. A ) )
6	5	anidms 389	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ A < 0 ) -> 0 < ( A x. A ) )
7		mulgt0 7253	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( A e. RR /\ 0 < A ) ) -> 0 < ( A x. A ) )
8	7	anidms 389	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> 0 < ( A x. A ) )
9	6, 8	jaodan 744	. 2 |- ( ( A e. RR /\ ( A < 0 \/ 0 < A ) ) -> 0 < ( A x. A ) )
10	4, 9	sylbi 119	1 |- ( ( A e. RR /\ A # 0 ) -> 0 < ( A x. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 662   e. wcel 1434   class class class wbr 3793  (class class class)co 5543   RRcr 7042   0cc0 7043   x. cmul 7048   < clt 7215   # cap 7748

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-ltxr 7220  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742  df-ap 7749

This theorem is referenced by:  msqge0  7783  recexaplem2  7809  msqznn  8528  sqgt0ap  9641