Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  apsym Unicode version

Theorem apsym 7773
 Description: Apartness is symmetric. This theorem for real numbers is part of Definition 11.2.7(v) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
apsym # #

Proof of Theorem apsym
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 7177 . . 3
3 cnre 7177 . . . . . 6
43ad3antrrr 476 . . . . 5
5 simplrl 502 . . . . . . . . . . . 12
6 simplrl 502 . . . . . . . . . . . . 13
76ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . 12
8 reaplt 7755 . . . . . . . . . . . 12 #
95, 7, 8syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11 #
10 reaplt 7755 . . . . . . . . . . . . 13 #
117, 5, 10syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12 #
12 orcom 680 . . . . . . . . . . . 12
1311, 12syl6bbr 196 . . . . . . . . . . 11 #
149, 13bitr4d 189 . . . . . . . . . 10 # #
15 simplrr 503 . . . . . . . . . . . 12
16 simplrr 503 . . . . . . . . . . . . 13
1716ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . 12
18 reaplt 7755 . . . . . . . . . . . 12 #
1915, 17, 18syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11 #
20 reaplt 7755 . . . . . . . . . . . . 13 #
2117, 15, 20syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12 #
22 orcom 680 . . . . . . . . . . . 12
2321, 22syl6bbr 196 . . . . . . . . . . 11 #
2419, 23bitr4d 189 . . . . . . . . . 10 # #
2514, 24orbi12d 740 . . . . . . . . 9 # # # #
26 apreim 7770 . . . . . . . . . 10 # # #
275, 15, 7, 17, 26syl22anc 1171 . . . . . . . . 9 # # #
28 apreim 7770 . . . . . . . . . 10 # # #
297, 17, 5, 15, 28syl22anc 1171 . . . . . . . . 9 # # #
3025, 27, 293bitr4d 218 . . . . . . . 8 # #
31 simpr 108 . . . . . . . . 9
32 simpllr 501 . . . . . . . . 9
3331, 32breq12d 3806 . . . . . . . 8 # #
3432, 31breq12d 3806 . . . . . . . 8 # #
3530, 33, 343bitr4d 218 . . . . . . 7 # #
3635ex 113 . . . . . 6 # #
3736rexlimdvva 2485 . . . . 5 # #
384, 37mpd 13 . . . 4 # #
3938ex 113 . . 3 # #
4039rexlimdvva 2485 . 2 # #
412, 40mpd 13 1 # #
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 102   wb 103   wo 662   wceq 1285   wcel 1434  wrex 2350   class class class wbr 3793  (class class class)co 5543  cc 7041  cr 7042  ci 7045   caddc 7046   cmul 7048   clt 7215   # cap 7748 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-ltxr 7220  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742  df-ap 7749 This theorem is referenced by:  addext  7777  mulext  7781  ltapii  7800  ltapd  7803  recgt0  7995  prodgt0  7997  sqrt2irraplemnn  10701
 Copyright terms: Public domain W3C validator