Theorem archnqq 7218

Description: For any fraction, there is an integer that is greater than it. This is also known as the "archimedean property". (Contributed by Jim Kingdon, 1-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
archnqq	|- ( A e. Q. -> E. x e. N. A <Q [ <. x , 1o >. ] ~Q )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem archnqq

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqpi 7179	. 2 |- ( A e. Q. -> E. z E. w ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) )
2		1pi 7116	. . . . . . 7 |- 1o e. N.
3		addclpi 7128	. . . . . . 7 |- ( ( z e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( z +N 1o ) e. N. )
4	2, 3	mpan2 421	. . . . . 6 |- ( z e. N. -> ( z +N 1o ) e. N. )
5	4	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z +N 1o ) e. N. )
6	5	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) -> ( z +N 1o ) e. N. )
7		pinn 7110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. N. -> z e. om )
8		1onn 6409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o e. om
9		nnacl 6369	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. om /\ 1o e. om ) -> ( z +o 1o ) e. om )
10	7, 8, 9	sylancl 409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. N. -> ( z +o 1o ) e. om )
11	10	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z +o 1o ) e. om )
12		nnm1 6413	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z +o 1o ) e. om -> ( ( z +o 1o ) .o 1o ) = ( z +o 1o ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z +o 1o ) .o 1o ) = ( z +o 1o ) )
14		elni2 7115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. N. <-> ( w e. om /\ (/) e. w ) )
15		nnord 4520	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. om -> Ord w )
16		ordgt0ge1 6325	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Ord w -> ( (/) e. w <-> 1o C_ w ) )
17	16	biimpa 294	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Ord w /\ (/) e. w ) -> 1o C_ w )
18	15, 17	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. om /\ (/) e. w ) -> 1o C_ w )
19	14, 18	sylbi 120	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. N. -> 1o C_ w )
20	19	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> 1o C_ w )
21		pinn 7110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. N. -> w e. om )
22	21	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> w e. om )
23		nnaword1 6402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. om /\ 1o e. om ) -> z C_ ( z +o 1o ) )
24	7, 8, 23	sylancl 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. N. -> z C_ ( z +o 1o ) )
25		elni2 7115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. N. <-> ( z e. om /\ (/) e. z ) )
26	25	simprbi 273	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. N. -> (/) e. z )
27	24, 26	sseldd 3093	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. N. -> (/) e. ( z +o 1o ) )
28	27	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> (/) e. ( z +o 1o ) )
29		nnmword 6407	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1o e. om /\ w e. om /\ ( z +o 1o ) e. om ) /\ (/) e. ( z +o 1o ) ) -> ( 1o C_ w <-> ( ( z +o 1o ) .o 1o ) C_ ( ( z +o 1o ) .o w ) ) )
30	8, 29	mp3anl1 1309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( w e. om /\ ( z +o 1o ) e. om ) /\ (/) e. ( z +o 1o ) ) -> ( 1o C_ w <-> ( ( z +o 1o ) .o 1o ) C_ ( ( z +o 1o ) .o w ) ) )
31	22, 11, 28, 30	syl21anc 1215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( 1o C_ w <-> ( ( z +o 1o ) .o 1o ) C_ ( ( z +o 1o ) .o w ) ) )
32	20, 31	mpbid 146	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z +o 1o ) .o 1o ) C_ ( ( z +o 1o ) .o w ) )
33	13, 32	eqsstrrd 3129	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z +o 1o ) C_ ( ( z +o 1o ) .o w ) )
34		nna0 6363	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. om -> ( z +o (/) ) = z )
35		0lt1o 6330	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) e. 1o
36		nnaordi 6397	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1o e. om /\ z e. om ) -> ( (/) e. 1o -> ( z +o (/) ) e. ( z +o 1o ) ) )
37	8, 36	mpan 420	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. om -> ( (/) e. 1o -> ( z +o (/) ) e. ( z +o 1o ) ) )
38	35, 37	mpi 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. om -> ( z +o (/) ) e. ( z +o 1o ) )
39	34, 38	eqeltrrd 2215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. om -> z e. ( z +o 1o ) )
40	7, 39	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. N. -> z e. ( z +o 1o ) )
41	40	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> z e. ( z +o 1o ) )
42	33, 41	sseldd 3093	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> z e. ( ( z +o 1o ) .o w ) )
43		mulclpi 7129	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z +N 1o ) e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z +N 1o ) .N w ) e. N. )
44	4, 43	sylan 281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z +N 1o ) .N w ) e. N. )
45		ltpiord 7120	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. N. /\ ( ( z +N 1o ) .N w ) e. N. ) -> ( z <N ( ( z +N 1o ) .N w ) <-> z e. ( ( z +N 1o ) .N w ) ) )
46	44, 45	syldan 280	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z <N ( ( z +N 1o ) .N w ) <-> z e. ( ( z +N 1o ) .N w ) ) )
47		mulpiord 7118	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z +N 1o ) e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z +N 1o ) .N w ) = ( ( z +N 1o ) .o w ) )
48	4, 47	sylan 281	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z +N 1o ) .N w ) = ( ( z +N 1o ) .o w ) )
49		addpiord 7117	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( z +N 1o ) = ( z +o 1o ) )
50	2, 49	mpan2 421	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. N. -> ( z +N 1o ) = ( z +o 1o ) )
51	50	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z +N 1o ) = ( z +o 1o ) )
52	51	oveq1d 5782	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z +N 1o ) .o w ) = ( ( z +o 1o ) .o w ) )
53	48, 52	eqtrd 2170	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z +N 1o ) .N w ) = ( ( z +o 1o ) .o w ) )
54	53	eleq2d 2207	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z e. ( ( z +N 1o ) .N w ) <-> z e. ( ( z +o 1o ) .o w ) ) )
55	46, 54	bitrd 187	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z <N ( ( z +N 1o ) .N w ) <-> z e. ( ( z +o 1o ) .o w ) ) )
56	42, 55	mpbird 166	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> z <N ( ( z +N 1o ) .N w ) )
57		mulcompig 7132	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z +N 1o ) e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z +N 1o ) .N w ) = ( w .N ( z +N 1o ) ) )
58	4, 57	sylan 281	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z +N 1o ) .N w ) = ( w .N ( z +N 1o ) ) )
59	58	breq2d 3936	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z <N ( ( z +N 1o ) .N w ) <-> z <N ( w .N ( z +N 1o ) ) ) )
60	56, 59	mpbid 146	. . . . . . 7 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> z <N ( w .N ( z +N 1o ) ) )
61	5, 2	jctir 311	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z +N 1o ) e. N. /\ 1o e. N. ) )
62		ordpipqqs 7175	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( ( z +N 1o ) e. N. /\ 1o e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q <-> ( z .N 1o ) <N ( w .N ( z +N 1o ) ) ) )
63	61, 62	mpdan 417	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q <-> ( z .N 1o ) <N ( w .N ( z +N 1o ) ) ) )
64		mulidpi 7119	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. N. -> ( z .N 1o ) = z )
65	64	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z .N 1o ) = z )
66	65	breq1d 3934	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z .N 1o ) <N ( w .N ( z +N 1o ) ) <-> z <N ( w .N ( z +N 1o ) ) ) )
67	63, 66	bitrd 187	. . . . . . 7 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q <-> z <N ( w .N ( z +N 1o ) ) ) )
68	60, 67	mpbird 166	. . . . . 6 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q )
69	68	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) -> [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q )
70		breq1 3927	. . . . . 6 |- ( A = [ <. z , w >. ] ~Q -> ( A <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q <-> [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q ) )
71	70	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) -> ( A <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q <-> [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q ) )
72	69, 71	mpbird 166	. . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) -> A <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q )
73		opeq1 3700	. . . . . . 7 |- ( x = ( z +N 1o ) -> <. x , 1o >. = <. ( z +N 1o ) , 1o >. )
74	73	eceq1d 6458	. . . . . 6 |- ( x = ( z +N 1o ) -> [ <. x , 1o >. ] ~Q = [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q )
75	74	breq2d 3936	. . . . 5 |- ( x = ( z +N 1o ) -> ( A <Q [ <. x , 1o >. ] ~Q <-> A <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q ) )
76	75	rspcev 2784	. . . 4 |- ( ( ( z +N 1o ) e. N. /\ A <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q ) -> E. x e. N. A <Q [ <. x , 1o >. ] ~Q )
77	6, 72, 76	syl2anc 408	. . 3 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) -> E. x e. N. A <Q [ <. x , 1o >. ] ~Q )
78	77	exlimivv 1868	. 2 |- ( E. z E. w ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) -> E. x e. N. A <Q [ <. x , 1o >. ] ~Q )
79	1, 78	syl 14	1 |- ( A e. Q. -> E. x e. N. A <Q [ <. x , 1o >. ] ~Q )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   E.wrex 2415   C_ wss 3066   (/)c0 3358   <.cop 3525   class class class wbr 3924   Ord word 4279   omcom 4499  (class class class)co 5767   1oc1o 6299   +o coa 6303   .o comu 6304   [cec 6420   N.cnpi 7073   +N cpli 7074   .N cmi 7075   <N clti 7076   ~Q ceq 7080   Q.cnq 7081   <Q cltq 7086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-eprel 4206  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-1o 6306  df-oadd 6310  df-omul 6311  df-er 6422  df-ec 6424  df-qs 6428  df-ni 7105  df-pli 7106  df-mi 7107  df-lti 7108  df-enq 7148  df-nqqs 7149  df-ltnqqs 7154

This theorem is referenced by:  prarloclemarch  7219  nqprm  7343  archpr  7444  archrecnq  7464