ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  archnqq Unicode version

Theorem archnqq 6573
Description: For any fraction, there is an integer that is greater than it. This is also known as the "archimedean property". (Contributed by Jim Kingdon, 1-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
archnqq  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. x  e.  N.  A  <Q  [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem archnqq
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqpi 6534 . 2  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. z E. w ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) )
2 1pi 6471 . . . . . . 7  |-  1o  e.  N.
3 addclpi 6483 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( z  +N  1o )  e.  N. )
42, 3mpan2 409 . . . . . 6  |-  ( z  e.  N.  ->  (
z  +N  1o )  e.  N. )
54adantr 265 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( z  +N  1o )  e.  N. )
65adantr 265 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  ->  (
z  +N  1o )  e.  N. )
7 pinn 6465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  N.  ->  z  e.  om )
8 1onn 6124 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1o  e.  om
9 nnacl 6090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  om  /\  1o  e.  om )  -> 
( z  +o  1o )  e.  om )
107, 8, 9sylancl 398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  N.  ->  (
z  +o  1o )  e.  om )
1110adantr 265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( z  +o  1o )  e.  om )
12 nnm1 6128 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  +o  1o )  e.  om  ->  (
( z  +o  1o )  .o  1o )  =  ( z  +o  1o ) )
1311, 12syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( ( z  +o  1o )  .o  1o )  =  ( z  +o  1o ) )
14 elni2 6470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  N.  <->  ( w  e.  om  /\  (/)  e.  w
) )
15 nnord 4362 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  om  ->  Ord  w )
16 ordgt0ge1 6049 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Ord  w  ->  ( (/)  e.  w  <->  1o  C_  w ) )
1716biimpa 284 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Ord  w  /\  (/)  e.  w
)  ->  1o  C_  w
)
1815, 17sylan 271 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  om  /\  (/) 
e.  w )  ->  1o  C_  w )
1914, 18sylbi 118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  N.  ->  1o  C_  w )
2019adantl 266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  1o  C_  w )
21 pinn 6465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  N.  ->  w  e.  om )
2221adantl 266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  w  e.  om )
23 nnaword1 6117 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  om  /\  1o  e.  om )  -> 
z  C_  ( z  +o  1o ) )
247, 8, 23sylancl 398 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  N.  ->  z  C_  ( z  +o  1o ) )
25 elni2 6470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  N.  <->  ( z  e.  om  /\  (/)  e.  z ) )
2625simprbi 264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  N.  ->  (/)  e.  z )
2724, 26sseldd 2974 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  N.  ->  (/)  e.  ( z  +o  1o ) )
2827adantr 265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  -> 
(/)  e.  ( z  +o  1o ) )
29 nnmword 6122 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1o  e.  om  /\  w  e.  om  /\  ( z  +o  1o )  e.  om )  /\  (/)  e.  ( z  +o  1o ) )  ->  ( 1o  C_  w 
<->  ( ( z  +o  1o )  .o  1o )  C_  ( ( z  +o  1o )  .o  w ) ) )
308, 29mp3anl1 1237 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( w  e.  om  /\  ( z  +o  1o )  e.  om )  /\  (/)  e.  ( z  +o  1o ) )  ->  ( 1o  C_  w 
<->  ( ( z  +o  1o )  .o  1o )  C_  ( ( z  +o  1o )  .o  w ) ) )
3122, 11, 28, 30syl21anc 1145 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( 1o  C_  w  <->  ( ( z  +o  1o )  .o  1o )  C_  ( ( z  +o  1o )  .o  w
) ) )
3220, 31mpbid 139 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( ( z  +o  1o )  .o  1o )  C_  ( ( z  +o  1o )  .o  w ) )
3313, 32eqsstr3d 3008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( z  +o  1o )  C_  ( ( z  +o  1o )  .o  w ) )
34 nna0 6084 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  om  ->  (
z  +o  (/) )  =  z )
35 0lt1o 6054 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (/)  e.  1o
36 nnaordi 6112 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1o  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( (/)  e.  1o  ->  ( z  +o  (/) )  e.  ( z  +o  1o ) ) )
378, 36mpan 408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  om  ->  ( (/) 
e.  1o  ->  ( z  +o  (/) )  e.  ( z  +o  1o ) ) )
3835, 37mpi 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  om  ->  (
z  +o  (/) )  e.  ( z  +o  1o ) )
3934, 38eqeltrrd 2131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  om  ->  z  e.  ( z  +o  1o ) )
407, 39syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  N.  ->  z  e.  ( z  +o  1o ) )
4140adantr 265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  z  e.  ( z  +o  1o ) )
4233, 41sseldd 2974 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  z  e.  ( ( z  +o  1o )  .o  w ) )
43 mulclpi 6484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  +N  1o )  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  (
( z  +N  1o )  .N  w )  e. 
N. )
444, 43sylan 271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( ( z  +N  1o )  .N  w
)  e.  N. )
45 ltpiord 6475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  N.  /\  ( ( z  +N  1o )  .N  w
)  e.  N. )  ->  ( z  <N  (
( z  +N  1o )  .N  w )  <->  z  e.  ( ( z  +N  1o )  .N  w
) ) )
4644, 45syldan 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( z  <N  (
( z  +N  1o )  .N  w )  <->  z  e.  ( ( z  +N  1o )  .N  w
) ) )
47 mulpiord 6473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  +N  1o )  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  (
( z  +N  1o )  .N  w )  =  ( ( z  +N  1o )  .o  w
) )
484, 47sylan 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( ( z  +N  1o )  .N  w
)  =  ( ( z  +N  1o )  .o  w ) )
49 addpiord 6472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( z  +N  1o )  =  ( z  +o  1o ) )
502, 49mpan2 409 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  N.  ->  (
z  +N  1o )  =  ( z  +o  1o ) )
5150adantr 265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( z  +N  1o )  =  ( z  +o  1o ) )
5251oveq1d 5555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( ( z  +N  1o )  .o  w
)  =  ( ( z  +o  1o )  .o  w ) )
5348, 52eqtrd 2088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( ( z  +N  1o )  .N  w
)  =  ( ( z  +o  1o )  .o  w ) )
5453eleq2d 2123 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( z  e.  ( ( z  +N  1o )  .N  w )  <->  z  e.  ( ( z  +o  1o )  .o  w
) ) )
5546, 54bitrd 181 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( z  <N  (
( z  +N  1o )  .N  w )  <->  z  e.  ( ( z  +o  1o )  .o  w
) ) )
5642, 55mpbird 160 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  z  <N  ( (
z  +N  1o )  .N  w ) )
57 mulcompig 6487 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  +N  1o )  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  (
( z  +N  1o )  .N  w )  =  ( w  .N  (
z  +N  1o ) ) )
584, 57sylan 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( ( z  +N  1o )  .N  w
)  =  ( w  .N  ( z  +N  1o ) ) )
5958breq2d 3804 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( z  <N  (
( z  +N  1o )  .N  w )  <->  z  <N  ( w  .N  ( z  +N  1o ) ) ) )
6056, 59mpbid 139 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  z  <N  ( w  .N  ( z  +N  1o ) ) )
615, 2jctir 300 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( ( z  +N  1o )  e.  N.  /\  1o  e.  N. )
)
62 ordpipqqs 6530 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( ( z  +N  1o )  e.  N.  /\  1o  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [ <. (
z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( z  .N  1o ) 
<N  ( w  .N  (
z  +N  1o ) ) ) )
6361, 62mpdan 406 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [
<. ( z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( z  .N  1o ) 
<N  ( w  .N  (
z  +N  1o ) ) ) )
64 mulidpi 6474 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  N.  ->  (
z  .N  1o )  =  z )
6564adantr 265 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( z  .N  1o )  =  z )
6665breq1d 3802 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( ( z  .N  1o )  <N  (
w  .N  ( z  +N  1o ) )  <-> 
z  <N  ( w  .N  ( z  +N  1o ) ) ) )
6763, 66bitrd 181 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [
<. ( z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  z 
<N  ( w  .N  (
z  +N  1o ) ) ) )
6860, 67mpbird 160 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )
6968adantr 265 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  ->  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )
70 breq1 3795 . . . . . 6  |-  ( A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ->  ( A  <Q  [ <. (
z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  [
<. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [ <. (
z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  ) )
7170adantl 266 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  ->  ( A  <Q  [ <. (
z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  [
<. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [ <. (
z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  ) )
7269, 71mpbird 160 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  ->  A  <Q  [ <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )
73 opeq1 3577 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( z  +N  1o )  ->  <. x ,  1o >.  =  <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. )
7473eceq1d 6173 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( z  +N  1o )  ->  [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  =  [ <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )
7574breq2d 3804 . . . . 5  |-  ( x  =  ( z  +N  1o )  ->  ( A  <Q  [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  <->  A  <Q  [
<. ( z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  ) )
7675rspcev 2673 . . . 4  |-  ( ( ( z  +N  1o )  e.  N.  /\  A  <Q  [ <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )  ->  E. x  e.  N.  A  <Q  [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  )
776, 72, 76syl2anc 397 . . 3  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  ->  E. x  e.  N.  A  <Q  [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  )
7877exlimivv 1792 . 2  |-  ( E. z E. w ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  ->  E. x  e.  N.  A  <Q  [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  )
791, 78syl 14 1  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. x  e.  N.  A  <Q  [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    = wceq 1259   E.wex 1397    e. wcel 1409   E.wrex 2324    C_ wss 2945   (/)c0 3252   <.cop 3406   class class class wbr 3792   Ord word 4127   omcom 4341  (class class class)co 5540   1oc1o 6025    +o coa 6029    .o comu 6030   [cec 6135   N.cnpi 6428    +N cpli 6429    .N cmi 6430    <N clti 6431    ~Q ceq 6435   Q.cnq 6436    <Q cltq 6441
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-ltnqqs 6509
This theorem is referenced by:  prarloclemarch  6574  nqprm  6698  archpr  6799  archrecnq  6819
  Copyright terms: Public domain W3C validator