Theorem asymref 4924

Description: Two ways of saying a relation is antisymmetric and reflexive. U. U. R is the field of a relation by relfld 5067. (Contributed by NM, 6-May-2008.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
asymref	|- ( ( R i^i `' R ) = ( _I |` U. U. R ) <-> A. x e. U. U. R A. y ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) )

Distinct variable group:   x, y, R

Proof of Theorem asymref

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 3930	. . . . . . . . . . 11 |- ( x R y <-> <. x , y >. e. R )
2		vex 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
3		vex 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
4	2, 3	opeluu 4371	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. x , y >. e. R -> ( x e. U. U. R /\ y e. U. U. R ) )
5	1, 4	sylbi 120	. . . . . . . . . 10 |- ( x R y -> ( x e. U. U. R /\ y e. U. U. R ) )
6	5	simpld 111	. . . . . . . . 9 |- ( x R y -> x e. U. U. R )
7	6	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( x R y /\ y R x ) -> x e. U. U. R )
8	7	pm4.71ri 389	. . . . . . 7 |- ( ( x R y /\ y R x ) <-> ( x e. U. U. R /\ ( x R y /\ y R x ) ) )
9	8	bibi1i 227	. . . . . 6 |- ( ( ( x R y /\ y R x ) <-> ( x e. U. U. R /\ x = y ) ) <-> ( ( x e. U. U. R /\ ( x R y /\ y R x ) ) <-> ( x e. U. U. R /\ x = y ) ) )
10		elin 3259	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> ( <. x , y >. e. R /\ <. x , y >. e. `' R ) )
11	2, 3	brcnv 4722	. . . . . . . . . 10 |- ( x `' R y <-> y R x )
12		df-br 3930	. . . . . . . . . 10 |- ( x `' R y <-> <. x , y >. e. `' R )
13	11, 12	bitr3i 185	. . . . . . . . 9 |- ( y R x <-> <. x , y >. e. `' R )
14	1, 13	anbi12i 455	. . . . . . . 8 |- ( ( x R y /\ y R x ) <-> ( <. x , y >. e. R /\ <. x , y >. e. `' R ) )
15	10, 14	bitr4i 186	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> ( x R y /\ y R x ) )
16	3	opelres 4824	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. ( _I |` U. U. R ) <-> ( <. x , y >. e. _I /\ x e. U. U. R ) )
17		df-br 3930	. . . . . . . . . 10 |- ( x _I y <-> <. x , y >. e. _I )
18	3	ideq 4691	. . . . . . . . . 10 |- ( x _I y <-> x = y )
19	17, 18	bitr3i 185	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. _I <-> x = y )
20	19	anbi2ci 454	. . . . . . . 8 |- ( ( <. x , y >. e. _I /\ x e. U. U. R ) <-> ( x e. U. U. R /\ x = y ) )
21	16, 20	bitri 183	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. ( _I |` U. U. R ) <-> ( x e. U. U. R /\ x = y ) )
22	15, 21	bibi12i 228	. . . . . 6 |- ( ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> <. x , y >. e. ( _I |` U. U. R ) ) <-> ( ( x R y /\ y R x ) <-> ( x e. U. U. R /\ x = y ) ) )
23		pm5.32 448	. . . . . 6 |- ( ( x e. U. U. R -> ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) ) <-> ( ( x e. U. U. R /\ ( x R y /\ y R x ) ) <-> ( x e. U. U. R /\ x = y ) ) )
24	9, 22, 23	3bitr4i 211	. . . . 5 |- ( ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> <. x , y >. e. ( _I |` U. U. R ) ) <-> ( x e. U. U. R -> ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) ) )
25	24	albii 1446	. . . 4 |- ( A. y ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> <. x , y >. e. ( _I |` U. U. R ) ) <-> A. y ( x e. U. U. R -> ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) ) )
26		19.21v 1845	. . . 4 |- ( A. y ( x e. U. U. R -> ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) ) <-> ( x e. U. U. R -> A. y ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) ) )
27	25, 26	bitri 183	. . 3 |- ( A. y ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> <. x , y >. e. ( _I |` U. U. R ) ) <-> ( x e. U. U. R -> A. y ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) ) )
28	27	albii 1446	. 2 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> <. x , y >. e. ( _I |` U. U. R ) ) <-> A. x ( x e. U. U. R -> A. y ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) ) )
29		relcnv 4917	. . . 4 |- Rel `' R
30		relin2 4658	. . . 4 |- ( Rel `' R -> Rel ( R i^i `' R ) )
31	29, 30	ax-mp 5	. . 3 |- Rel ( R i^i `' R )
32		relres 4847	. . 3 |- Rel ( _I |` U. U. R )
33		eqrel 4628	. . 3 |- ( ( Rel ( R i^i `' R ) /\ Rel ( _I |` U. U. R ) ) -> ( ( R i^i `' R ) = ( _I |` U. U. R ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> <. x , y >. e. ( _I |` U. U. R ) ) ) )
34	31, 32, 33	mp2an 422	. 2 |- ( ( R i^i `' R ) = ( _I |` U. U. R ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> <. x , y >. e. ( _I |` U. U. R ) ) )
35		df-ral 2421	. 2 |- ( A. x e. U. U. R A. y ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) <-> A. x ( x e. U. U. R -> A. y ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) ) )
36	28, 34, 35	3bitr4i 211	1 |- ( ( R i^i `' R ) = ( _I |` U. U. R ) <-> A. x e. U. U. R A. y ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1329   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   i^i cin 3070   <.cop 3530   U.cuni 3736   class class class wbr 3929   _I cid 4210   `'ccnv 4538   |` cres 4541   Rel wrel 4544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-res 4551

This theorem is referenced by: (None)