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Theorem asymref 4738
Description: Two ways of saying a relation is antisymmetric and reflexive.  U. U. R is the field of a relation by relfld 4874. (Contributed by NM, 6-May-2008.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
asymref  |-  ( ( R  i^i  `' R
)  =  (  _I  |`  U. U. R )  <->  A. x  e.  U. U. R A. y ( ( x R y  /\  y R x )  <->  x  =  y ) )
Distinct variable group:    x, y, R

Proof of Theorem asymref
StepHypRef Expression
1 df-br 3793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x R y  <->  <. x ,  y >.  e.  R
)
2 vex 2577 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
3 vex 2577 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
42, 3opeluu 4210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  R  ->  ( x  e.  U. U. R  /\  y  e.  U. U. R ) )
51, 4sylbi 118 . . . . . . . . . 10  |-  ( x R y  ->  (
x  e.  U. U. R  /\  y  e.  U. U. R ) )
65simpld 109 . . . . . . . . 9  |-  ( x R y  ->  x  e.  U. U. R )
76adantr 265 . . . . . . . 8  |-  ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  e.  U. U. R
)
87pm4.71ri 378 . . . . . . 7  |-  ( ( x R y  /\  y R x )  <->  ( x  e.  U. U. R  /\  ( x R y  /\  y R x ) ) )
98bibi1i 221 . . . . . 6  |-  ( ( ( x R y  /\  y R x )  <->  ( x  e. 
U. U. R  /\  x  =  y ) )  <-> 
( ( x  e. 
U. U. R  /\  (
x R y  /\  y R x ) )  <-> 
( x  e.  U. U. R  /\  x  =  y ) ) )
10 elin 3154 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  R  /\  <. x ,  y
>.  e.  `' R ) )
112, 3brcnv 4546 . . . . . . . . . 10  |-  ( x `' R y  <->  y R x )
12 df-br 3793 . . . . . . . . . 10  |-  ( x `' R y  <->  <. x ,  y >.  e.  `' R )
1311, 12bitr3i 179 . . . . . . . . 9  |-  ( y R x  <->  <. x ,  y >.  e.  `' R )
141, 13anbi12i 441 . . . . . . . 8  |-  ( ( x R y  /\  y R x )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  R  /\  <. x ,  y
>.  e.  `' R ) )
1510, 14bitr4i 180 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R )  <->  ( x R y  /\  y R x ) )
163opelres 4645 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  (  _I  |`  U. U. R )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  _I  /\  x  e.  U. U. R ) )
17 df-br 3793 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  _I  y  <->  <. x ,  y >.  e.  _I  )
183ideq 4516 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  _I  y  <->  x  =  y )
1917, 18bitr3i 179 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  _I  <->  x  =  y
)
2019anbi2ci 440 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  _I  /\  x  e. 
U. U. R )  <->  ( x  e.  U. U. R  /\  x  =  y )
)
2116, 20bitri 177 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  (  _I  |`  U. U. R )  <->  ( x  e.  U. U. R  /\  x  =  y )
)
2215, 21bibi12i 222 . . . . . 6  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R )  <->  <. x ,  y >.  e.  (  _I  |`  U. U. R
) )  <->  ( (
x R y  /\  y R x )  <->  ( x  e.  U. U. R  /\  x  =  y )
) )
23 pm5.32 434 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  U. U. R  ->  ( ( x R y  /\  y R x )  <->  x  =  y ) )  <->  ( (
x  e.  U. U. R  /\  ( x R y  /\  y R x ) )  <->  ( x  e.  U. U. R  /\  x  =  y )
) )
249, 22, 233bitr4i 205 . . . . 5  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R )  <->  <. x ,  y >.  e.  (  _I  |`  U. U. R
) )  <->  ( x  e.  U. U. R  -> 
( ( x R y  /\  y R x )  <->  x  =  y ) ) )
2524albii 1375 . . . 4  |-  ( A. y ( <. x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R
)  <->  <. x ,  y
>.  e.  (  _I  |`  U. U. R ) )  <->  A. y
( x  e.  U. U. R  ->  ( (
x R y  /\  y R x )  <->  x  =  y ) ) )
26 19.21v 1769 . . . 4  |-  ( A. y ( x  e. 
U. U. R  ->  (
( x R y  /\  y R x )  <->  x  =  y
) )  <->  ( x  e.  U. U. R  ->  A. y ( ( x R y  /\  y R x )  <->  x  =  y ) ) )
2725, 26bitri 177 . . 3  |-  ( A. y ( <. x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R
)  <->  <. x ,  y
>.  e.  (  _I  |`  U. U. R ) )  <->  ( x  e.  U. U. R  ->  A. y ( ( x R y  /\  y R x )  <->  x  =  y ) ) )
2827albii 1375 . 2  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R )  <->  <. x ,  y >.  e.  (  _I  |`  U. U. R
) )  <->  A. x
( x  e.  U. U. R  ->  A. y
( ( x R y  /\  y R x )  <->  x  =  y ) ) )
29 relcnv 4731 . . . 4  |-  Rel  `' R
30 relin2 4484 . . . 4  |-  ( Rel  `' R  ->  Rel  ( R  i^i  `' R ) )
3129, 30ax-mp 7 . . 3  |-  Rel  ( R  i^i  `' R )
32 relres 4667 . . 3  |-  Rel  (  _I  |`  U. U. R
)
33 eqrel 4457 . . 3  |-  ( ( Rel  ( R  i^i  `' R )  /\  Rel  (  _I  |`  U. U. R ) )  -> 
( ( R  i^i  `' R )  =  (  _I  |`  U. U. R
)  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  ( R  i^i  `' R )  <->  <. x ,  y >.  e.  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) )
3431, 32, 33mp2an 410 . 2  |-  ( ( R  i^i  `' R
)  =  (  _I  |`  U. U. R )  <->  A. x A. y (
<. x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R )  <->  <. x ,  y >.  e.  (  _I  |`  U. U. R
) ) )
35 df-ral 2328 . 2  |-  ( A. x  e.  U. U. R A. y ( ( x R y  /\  y R x )  <->  x  =  y )  <->  A. x
( x  e.  U. U. R  ->  A. y
( ( x R y  /\  y R x )  <->  x  =  y ) ) )
3628, 34, 353bitr4i 205 1  |-  ( ( R  i^i  `' R
)  =  (  _I  |`  U. U. R )  <->  A. x  e.  U. U. R A. y ( ( x R y  /\  y R x )  <->  x  =  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102   A.wal 1257    = wceq 1259    e. wcel 1409   A.wral 2323    i^i cin 2944   <.cop 3406   U.cuni 3608   class class class wbr 3792    _I cid 4053   `'ccnv 4372    |` cres 4375   Rel wrel 4378
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-res 4385
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