Theorem avgle2 8954

Description: Ordering property for average. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
avgle2	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( ( A + B ) / 2 ) <_ B ) )

Proof of Theorem avgle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		avglt1 8951	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B < A <-> B < ( ( B + A ) / 2 ) ) )
2	1	ancoms 266	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B < A <-> B < ( ( B + A ) / 2 ) ) )
3		recn 7746	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> A e. CC )
4		recn 7746	. . . . . . 7 |- ( B e. RR -> B e. CC )
5		addcom 7892	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) = ( B + A ) )
6	3, 4, 5	syl2an 287	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + B ) = ( B + A ) )
7	6	oveq1d 5782	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A + B ) / 2 ) = ( ( B + A ) / 2 ) )
8	7	breq2d 3936	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B < ( ( A + B ) / 2 ) <-> B < ( ( B + A ) / 2 ) ) )
9	2, 8	bitr4d 190	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B < A <-> B < ( ( A + B ) / 2 ) ) )
10	9	notbid 656	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -. B < A <-> -. B < ( ( A + B ) / 2 ) ) )
11		lenlt 7833	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
12		readdcl 7739	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + B ) e. RR )
13		rehalfcl 8940	. . . 4 |- ( ( A + B ) e. RR -> ( ( A + B ) / 2 ) e. RR )
14	12, 13	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A + B ) / 2 ) e. RR )
15		lenlt 7833	. . 3 |- ( ( ( ( A + B ) / 2 ) e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( A + B ) / 2 ) <_ B <-> -. B < ( ( A + B ) / 2 ) ) )
16	14, 15	sylancom 416	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( A + B ) / 2 ) <_ B <-> -. B < ( ( A + B ) / 2 ) ) )
17	10, 11, 16	3bitr4d 219	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( ( A + B ) / 2 ) <_ B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   CCcc 7611   RRcr 7612   + caddc 7616   < clt 7793   <_ cle 7794   / cdiv 8425   2c2 8764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-2 8772

This theorem is referenced by:  qavgle  10029