ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  avglt2 Unicode version

Theorem avglt2 8407
Description: Ordering property for average. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
avglt2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  ( ( A  +  B
)  /  2 )  <  B ) )

Proof of Theorem avglt2
StepHypRef Expression
1 simpr 108 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
21recnd 7279 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  CC )
3 2times 8297 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  (
2  x.  B )  =  ( B  +  B ) )
42, 3syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 2  x.  B
)  =  ( B  +  B ) )
54breq2d 3817 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  +  B )  <  (
2  x.  B )  <-> 
( A  +  B
)  <  ( B  +  B ) ) )
6 readdcl 7231 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
7 2re 8246 . . . . 5  |-  2  e.  RR
8 2pos 8267 . . . . 5  |-  0  <  2
97, 8pm3.2i 266 . . . 4  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
109a1i 9 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
11 ltdivmul 8091 . . 3  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( ( A  +  B )  /  2 )  < 
B  <->  ( A  +  B )  <  (
2  x.  B ) ) )
126, 1, 10, 11syl3anc 1170 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( A  +  B )  / 
2 )  <  B  <->  ( A  +  B )  <  ( 2  x.  B ) ) )
13 ltadd1 7670 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  ( A  +  B )  <  ( B  +  B )
) )
14133anidm23 1229 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  ( A  +  B )  <  ( B  +  B ) ) )
155, 12, 143bitr4rd 219 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  ( ( A  +  B
)  /  2 )  <  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   class class class wbr 3805  (class class class)co 5564   CCcc 7111   RRcr 7112   0cc0 7113    + caddc 7116    x. cmul 7118    < clt 7285    / cdiv 7897   2c2 8226
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7199  ax-resscn 7200  ax-1cn 7201  ax-1re 7202  ax-icn 7203  ax-addcl 7204  ax-addrcl 7205  ax-mulcl 7206  ax-mulrcl 7207  ax-addcom 7208  ax-mulcom 7209  ax-addass 7210  ax-mulass 7211  ax-distr 7212  ax-i2m1 7213  ax-0lt1 7214  ax-1rid 7215  ax-0id 7216  ax-rnegex 7217  ax-precex 7218  ax-cnre 7219  ax-pre-ltirr 7220  ax-pre-ltwlin 7221  ax-pre-lttrn 7222  ax-pre-apti 7223  ax-pre-ltadd 7224  ax-pre-mulgt0 7225  ax-pre-mulext 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fv 4960  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-pnf 7287  df-mnf 7288  df-xr 7289  df-ltxr 7290  df-le 7291  df-sub 7418  df-neg 7419  df-reap 7812  df-ap 7819  df-div 7898  df-2 8235
This theorem is referenced by:  avgle1  8408
  Copyright terms: Public domain W3C validator