ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ax0lt1 Unicode version

Theorem ax0lt1 7104
Description: 0 is less than 1. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-0lt1 7144.

The version of this axiom in the Metamath Proof Explorer reads  1  =/=  0; here we change it to  0  <RR  1. The proof of  0  <RR  1 from  1  =/=  0 in the Metamath Proof Explorer (accessed 12-Jan-2020) relies on real number trichotomy. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jan-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion
Ref Expression
ax0lt1  |-  0  <RR  1

Proof of Theorem ax0lt1
StepHypRef Expression
1 0lt1sr 7004 . . 3  |-  0R  <R  1R
2 ltresr 7069 . . 3  |-  ( <. 0R ,  0R >.  <RR  <. 1R ,  0R >. 
<->  0R  <R  1R )
31, 2mpbir 144 . 2  |-  <. 0R ,  0R >.  <RR  <. 1R ,  0R >.
4 df-0 7050 . 2  |-  0  =  <. 0R ,  0R >.
5 df-1 7051 . 2  |-  1  =  <. 1R ,  0R >.
63, 4, 53brtr4i 3821 1  |-  0  <RR  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   <.cop 3409   class class class wbr 3793   0Rc0r 6550   1Rc1r 6551    <R cltr 6555   0cc0 7043   1c1 7044    <RR cltrr 7047
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-eprel 4052  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-irdg 6019  df-1o 6065  df-2o 6066  df-oadd 6069  df-omul 6070  df-er 6172  df-ec 6174  df-qs 6178  df-ni 6556  df-pli 6557  df-mi 6558  df-lti 6559  df-plpq 6596  df-mpq 6597  df-enq 6599  df-nqqs 6600  df-plqqs 6601  df-mqqs 6602  df-1nqqs 6603  df-rq 6604  df-ltnqqs 6605  df-enq0 6676  df-nq0 6677  df-0nq0 6678  df-plq0 6679  df-mq0 6680  df-inp 6718  df-i1p 6719  df-iplp 6720  df-iltp 6722  df-enr 6965  df-nr 6966  df-ltr 6969  df-0r 6970  df-1r 6971  df-0 7050  df-1 7051  df-r 7053  df-lt 7056
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator