ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ax1rid Unicode version

Theorem ax1rid 7094
Description:  1 is an identity element for real multiplication. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1rid 7134. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ax1rid  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  x.  1 )  =  A )

Proof of Theorem ax1rid
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-r 7042 . 2  |-  RR  =  ( R.  X.  { 0R } )
2 oveq1 5544 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  =  A  ->  ( <.
x ,  y >.  x.  1 )  =  ( A  x.  1 ) )
3 id 19 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  =  A  ->  <. x ,  y >.  =  A )
42, 3eqeq12d 2096 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  =  A  ->  ( (
<. x ,  y >.  x.  1 )  =  <. x ,  y >.  <->  ( A  x.  1 )  =  A ) )
5 elsni 3418 . . 3  |-  ( y  e.  { 0R }  ->  y  =  0R )
6 df-1 7040 . . . . . . 7  |-  1  =  <. 1R ,  0R >.
76oveq2i 5548 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  0R >.  x.  1 )  =  (
<. x ,  0R >.  x. 
<. 1R ,  0R >. )
8 1sr 6979 . . . . . . . 8  |-  1R  e.  R.
9 mulresr 7057 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  R.  /\  1R  e.  R. )  -> 
( <. x ,  0R >.  x.  <. 1R ,  0R >. )  =  <. (
x  .R  1R ) ,  0R >. )
108, 9mpan2 416 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  R.  ->  ( <. x ,  0R >.  x. 
<. 1R ,  0R >. )  =  <. ( x  .R  1R ) ,  0R >. )
11 1idsr 6996 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  R.  ->  (
x  .R  1R )  =  x )
1211opeq1d 3578 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  R.  ->  <. (
x  .R  1R ) ,  0R >.  =  <. x ,  0R >. )
1310, 12eqtrd 2114 . . . . . 6  |-  ( x  e.  R.  ->  ( <. x ,  0R >.  x. 
<. 1R ,  0R >. )  =  <. x ,  0R >. )
147, 13syl5eq 2126 . . . . 5  |-  ( x  e.  R.  ->  ( <. x ,  0R >.  x.  1 )  =  <. x ,  0R >. )
15 opeq2 3573 . . . . . . 7  |-  ( y  =  0R  ->  <. x ,  y >.  =  <. x ,  0R >. )
1615oveq1d 5552 . . . . . 6  |-  ( y  =  0R  ->  ( <. x ,  y >.  x.  1 )  =  (
<. x ,  0R >.  x.  1 ) )
1716, 15eqeq12d 2096 . . . . 5  |-  ( y  =  0R  ->  (
( <. x ,  y
>.  x.  1 )  = 
<. x ,  y >.  <->  (
<. x ,  0R >.  x.  1 )  =  <. x ,  0R >. )
)
1814, 17syl5ibr 154 . . . 4  |-  ( y  =  0R  ->  (
x  e.  R.  ->  (
<. x ,  y >.  x.  1 )  =  <. x ,  y >. )
)
1918impcom 123 . . 3  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  =  0R )  ->  ( <. x ,  y
>.  x.  1 )  = 
<. x ,  y >.
)
205, 19sylan2 280 . 2  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  { 0R } )  ->  ( <. x ,  y >.  x.  1 )  =  <. x ,  y >. )
211, 4, 20optocl 4436 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1285    e. wcel 1434   {csn 3400   <.cop 3403  (class class class)co 5537   R.cnr 6538   0Rc0r 6539   1Rc1r 6540    .R cmr 6543   RRcr 7031   1c1 7033    x. cmul 7037
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3895  ax-sep 3898  ax-nul 3906  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-iinf 4331
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3253  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-tr 3878  df-eprel 4046  df-id 4050  df-po 4053  df-iso 4054  df-iord 4123  df-on 4125  df-suc 4128  df-iom 4334  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-f1 4931  df-fo 4932  df-f1o 4933  df-fv 4934  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-irdg 6013  df-1o 6059  df-2o 6060  df-oadd 6063  df-omul 6064  df-er 6165  df-ec 6167  df-qs 6171  df-ni 6545  df-pli 6546  df-mi 6547  df-lti 6548  df-plpq 6585  df-mpq 6586  df-enq 6588  df-nqqs 6589  df-plqqs 6590  df-mqqs 6591  df-1nqqs 6592  df-rq 6593  df-ltnqqs 6594  df-enq0 6665  df-nq0 6666  df-0nq0 6667  df-plq0 6668  df-mq0 6669  df-inp 6707  df-i1p 6708  df-iplp 6709  df-imp 6710  df-enr 6954  df-nr 6955  df-plr 6956  df-mr 6957  df-0r 6959  df-1r 6960  df-m1r 6961  df-c 7038  df-1 7040  df-r 7042  df-mul 7044
This theorem is referenced by:  rereceu  7106  recriota  7107
  Copyright terms: Public domain W3C validator