ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axcaucvglemval Unicode version

Theorem axcaucvglemval 7125
Description: Lemma for axcaucvg 7128. Value of sequence when mapping to  N. and  R.. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
axcaucvg.n  |-  N  = 
|^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
axcaucvg.f  |-  ( ph  ->  F : N --> RR )
axcaucvg.cau  |-  ( ph  ->  A. n  e.  N  A. k  e.  N  ( n  <RR  k  -> 
( ( F `  n )  <RR  ( ( F `  k )  +  ( iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r )  =  1 ) )  /\  ( F `  k )  <RR  ( ( F `  n )  +  (
iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r
)  =  1 ) ) ) ) )
axcaucvg.g  |-  G  =  ( j  e.  N.  |->  ( iota_ z  e.  R.  ( F `  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. z ,  0R >. )
)
Assertion
Ref Expression
axcaucvglemval  |-  ( (
ph  /\  J  e.  N. )  ->  ( F `
 <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. ( G `  J ) ,  0R >. )
Distinct variable groups:    j, F, z   
z, G    j, J, l, u, z    ph, j    y, l, u    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, u, k, n, r, l)    F( x, y, u, k, n, r, l)    G( x, y, u, j, k, n, r, l)    J( x, y, k, n, r)    N( x, y, z, u, j, k, n, r, l)

Proof of Theorem axcaucvglemval
StepHypRef Expression
1 axcaucvg.g . . . . 5  |-  G  =  ( j  e.  N.  |->  ( iota_ z  e.  R.  ( F `  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. z ,  0R >. )
)
21a1i 9 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  N. )  ->  G  =  ( j  e.  N.  |->  ( iota_ z  e.  R.  ( F `  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. z ,  0R >. )
) )
3 opeq1 3578 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  J  ->  <. j ,  1o >.  =  <. J ,  1o >. )
43eceq1d 6208 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  J  ->  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  =  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  )
54breq2d 3805 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  J  ->  (
l  <Q  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  <->  l  <Q  [
<. J ,  1o >. ]  ~Q  ) )
65abbidv 2197 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  J  ->  { l  |  l  <Q  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  }  =  { l  |  l  <Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  }
)
74breq1d 3803 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  J  ->  ( [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u  <->  [
<. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u )
)
87abbidv 2197 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  J  ->  { u  |  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u }  =  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } )
96, 8opeq12d 3586 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  J  ->  <. { l  |  l  <Q  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  =  <. { l  |  l  <Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >. )
109oveq1d 5558 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  J  ->  ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  =  ( <. { l  |  l  <Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) )
1110opeq1d 3584 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  J  ->  <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >.  =  <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. )
1211eceq1d 6208 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  J  ->  [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
1312opeq1d 3584 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  J  ->  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )
1413fveq2d 5213 . . . . . . 7  |-  ( j  =  J  ->  ( F `  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  ( F `  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. ) )
1514eqeq1d 2090 . . . . . 6  |-  ( j  =  J  ->  (
( F `  <. [
<. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. z ,  0R >.  <->  ( F `  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. z ,  0R >. )
)
1615riotabidv 5501 . . . . 5  |-  ( j  =  J  ->  ( iota_ z  e.  R.  ( F `  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. z ,  0R >. )  =  ( iota_ z  e. 
R.  ( F `  <. [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. z ,  0R >. )
)
1716adantl 271 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  N. )  /\  j  =  J )  ->  ( iota_ z  e.  R.  ( F `  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. z ,  0R >. )  =  ( iota_ z  e. 
R.  ( F `  <. [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. z ,  0R >. )
)
18 simpr 108 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  N. )  ->  J  e. 
N. )
19 axcaucvg.n . . . . 5  |-  N  = 
|^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
20 axcaucvg.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : N --> RR )
2119, 20axcaucvglemcl 7123 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  N. )  ->  ( iota_ z  e.  R.  ( F `
 <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. z ,  0R >. )  e.  R. )
222, 17, 18, 21fvmptd 5285 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e.  N. )  ->  ( G `
 J )  =  ( iota_ z  e.  R.  ( F `  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. z ,  0R >. )
)
2322eqcomd 2087 . 2  |-  ( (
ph  /\  J  e.  N. )  ->  ( iota_ z  e.  R.  ( F `
 <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. z ,  0R >. )  =  ( G `  J ) )
2422, 21eqeltrd 2156 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e.  N. )  ->  ( G `
 J )  e. 
R. )
2520adantr 270 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  N. )  ->  F : N
--> RR )
26 pitonn 7078 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  N.  ->  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) } )
2726, 19syl6eleqr 2173 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  N.  ->  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  e.  N )
2827adantl 271 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  N. )  ->  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  e.  N )
2925, 28ffvelrnd 5335 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  J  e.  N. )  ->  ( F `
 <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  e.  RR )
30 elrealeu 7060 . . . . 5  |-  ( ( F `  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  e.  RR  <->  E! z  e.  R.  <. z ,  0R >.  =  ( F `  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. ) )
3129, 30sylib 120 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  N. )  ->  E! z  e.  R.  <. z ,  0R >.  =  ( F `  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. ) )
32 eqcom 2084 . . . . 5  |-  ( <.
z ,  0R >.  =  ( F `  <. [
<. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  <->  ( F `  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. z ,  0R >. )
3332reubii 2540 . . . 4  |-  ( E! z  e.  R.  <. z ,  0R >.  =  ( F `  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  <->  E! z  e.  R.  ( F `  <. [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. z ,  0R >. )
3431, 33sylib 120 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e.  N. )  ->  E! z  e.  R.  ( F `
 <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. z ,  0R >. )
35 opeq1 3578 . . . . 5  |-  ( z  =  ( G `  J )  ->  <. z ,  0R >.  =  <. ( G `  J ) ,  0R >. )
3635eqeq2d 2093 . . . 4  |-  ( z  =  ( G `  J )  ->  (
( F `  <. [
<. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. z ,  0R >.  <->  ( F `  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. ( G `  J ) ,  0R >. )
)
3736riota2 5521 . . 3  |-  ( ( ( G `  J
)  e.  R.  /\  E! z  e.  R.  ( F `  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. z ,  0R >. )  ->  ( ( F `  <. [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. ( G `  J ) ,  0R >.  <->  ( iota_ z  e.  R.  ( F `
 <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. z ,  0R >. )  =  ( G `  J ) ) )
3824, 34, 37syl2anc 403 . 2  |-  ( (
ph  /\  J  e.  N. )  ->  ( ( F `  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. ( G `  J ) ,  0R >.  <->  ( iota_ z  e.  R.  ( F `
 <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. z ,  0R >. )  =  ( G `  J ) ) )
3923, 38mpbird 165 1  |-  ( (
ph  /\  J  e.  N. )  ->  ( F `
 <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. ( G `  J ) ,  0R >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   {cab 2068   A.wral 2349   E!wreu 2351   <.cop 3409   |^|cint 3644   class class class wbr 3793    |-> cmpt 3847   -->wf 4928   ` cfv 4932   iota_crio 5498  (class class class)co 5543   1oc1o 6058   [cec 6170   N.cnpi 6524    ~Q ceq 6531    <Q cltq 6537   1Pc1p 6544    +P. cpp 6545    ~R cer 6548   R.cnr 6549   0Rc0r 6550   RRcr 7042   1c1 7044    + caddc 7046    <RR cltrr 7047    x. cmul 7048
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-eprel 4052  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-irdg 6019  df-1o 6065  df-2o 6066  df-oadd 6069  df-omul 6070  df-er 6172  df-ec 6174  df-qs 6178  df-ni 6556  df-pli 6557  df-mi 6558  df-lti 6559  df-plpq 6596  df-mpq 6597  df-enq 6599  df-nqqs 6600  df-plqqs 6601  df-mqqs 6602  df-1nqqs 6603  df-rq 6604  df-ltnqqs 6605  df-enq0 6676  df-nq0 6677  df-0nq0 6678  df-plq0 6679  df-mq0 6680  df-inp 6718  df-i1p 6719  df-iplp 6720  df-enr 6965  df-nr 6966  df-plr 6967  df-0r 6970  df-1r 6971  df-c 7049  df-1 7051  df-r 7053  df-add 7054
This theorem is referenced by:  axcaucvglemcau  7126  axcaucvglemres  7127
  Copyright terms: Public domain W3C validator