Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axcnre Unicode version

Theorem axcnre 7013
 Description: A complex number can be expressed in terms of two reals. Definition 10-1.1(v) of [Gleason] p. 130. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-cnre 7053. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axcnre
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem axcnre
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-c 6953 . 2
2 eqeq1 2062 . . 3
322rexbidv 2366 . 2
4 opelreal 6962 . . . . . 6
5 opelreal 6962 . . . . . 6
64, 5anbi12i 441 . . . . 5
76biimpri 128 . . . 4
8 df-i 6956 . . . . . . . . 9
98oveq1i 5550 . . . . . . . 8
10 0r 6893 . . . . . . . . . 10
11 1sr 6894 . . . . . . . . . . 11
12 mulcnsr 6969 . . . . . . . . . . 11
1310, 11, 12mpanl12 420 . . . . . . . . . 10
1410, 13mpan2 409 . . . . . . . . 9
15 mulcomsrg 6900 . . . . . . . . . . . . . 14
1610, 15mpan 408 . . . . . . . . . . . . 13
17 00sr 6912 . . . . . . . . . . . . 13
1816, 17eqtrd 2088 . . . . . . . . . . . 12
1918oveq1d 5555 . . . . . . . . . . 11
20 00sr 6912 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2111, 20ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . . 15
2221oveq2i 5551 . . . . . . . . . . . . . 14
23 m1r 6895 . . . . . . . . . . . . . . 15
24 00sr 6912 . . . . . . . . . . . . . . 15
2523, 24ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . 14
2622, 25eqtri 2076 . . . . . . . . . . . . 13
2726oveq2i 5551 . . . . . . . . . . . 12
28 0idsr 6910 . . . . . . . . . . . . 13
2910, 28ax-mp 7 . . . . . . . . . . . 12
3027, 29eqtri 2076 . . . . . . . . . . 11
3119, 30syl6eq 2104 . . . . . . . . . 10
32 mulcomsrg 6900 . . . . . . . . . . . . . 14
3311, 32mpan 408 . . . . . . . . . . . . 13
34 1idsr 6911 . . . . . . . . . . . . 13
3533, 34eqtrd 2088 . . . . . . . . . . . 12
3635oveq1d 5555 . . . . . . . . . . 11
37 00sr 6912 . . . . . . . . . . . . . 14
3810, 37ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . 13
3938oveq2i 5551 . . . . . . . . . . . 12
40 0idsr 6910 . . . . . . . . . . . 12
4139, 40syl5eq 2100 . . . . . . . . . . 11
4236, 41eqtrd 2088 . . . . . . . . . 10
4331, 42opeq12d 3585 . . . . . . . . 9
4414, 43eqtrd 2088 . . . . . . . 8
459, 44syl5eq 2100 . . . . . . 7
4645oveq2d 5556 . . . . . 6
4746adantl 266 . . . . 5
48 addcnsr 6968 . . . . . . 7
4910, 48mpanl2 419 . . . . . 6
5010, 49mpanr1 421 . . . . 5
51 0idsr 6910 . . . . . 6
52 addcomsrg 6898 . . . . . . . 8
5310, 52mpan 408 . . . . . . 7
5453, 40eqtrd 2088 . . . . . 6
55 opeq12 3579 . . . . . 6
5651, 54, 55syl2an 277 . . . . 5
5747, 50, 563eqtrrd 2093 . . . 4
58 vex 2577 . . . . . 6
59 opexg 3992 . . . . . 6
6058, 10, 59mp2an 410 . . . . 5
61 vex 2577 . . . . . 6
62 opexg 3992 . . . . . 6
6361, 10, 62mp2an 410 . . . . 5
64 eleq1 2116 . . . . . . 7
65 eleq1 2116 . . . . . . 7
6664, 65bi2anan9 548 . . . . . 6
67 oveq1 5547 . . . . . . . 8
68 oveq2 5548 . . . . . . . . 9
6968oveq2d 5556 . . . . . . . 8
7067, 69sylan9eq 2108 . . . . . . 7
7170eqeq2d 2067 . . . . . 6
7266, 71anbi12d 450 . . . . 5
7360, 63, 72spc2ev 2665 . . . 4
747, 57, 73syl2anc 397 . . 3
75 r2ex 2361 . . 3
7674, 75sylibr 141 . 2
771, 3, 76optocl 4444 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 101   wceq 1259  wex 1397   wcel 1409  wrex 2324  cvv 2574  cop 3406  (class class class)co 5540  cnr 6453  c0r 6454  c1r 6455  cm1r 6456   cplr 6457   cmr 6458  cc 6945  cr 6946  ci 6949   caddc 6950   cmul 6952 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-imp 6625  df-enr 6869  df-nr 6870  df-plr 6871  df-mr 6872  df-0r 6874  df-1r 6875  df-m1r 6876  df-c 6953  df-i 6956  df-r 6957  df-add 6958  df-mul 6959 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator