Theorem axcnre 7689

Description: A complex number can be expressed in terms of two reals. Definition 10-1.1(v) of [Gleason] p. 130. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-cnre 7731. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axcnre	|- ( A e. CC -> E. x e. RR E. y e. RR A = ( x + ( _i x. y ) ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem axcnre

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 7626	. 2 |- CC = ( R. X. R. )
2		eqeq1 2146	. . 3 |- ( <. z , w >. = A -> ( <. z , w >. = ( x + ( _i x. y ) ) <-> A = ( x + ( _i x. y ) ) ) )
3	2	2rexbidv 2460	. 2 |- ( <. z , w >. = A -> ( E. x e. RR E. y e. RR <. z , w >. = ( x + ( _i x. y ) ) <-> E. x e. RR E. y e. RR A = ( x + ( _i x. y ) ) ) )
4		opelreal 7635	. . . . . 6 |- ( <. z , 0R >. e. RR <-> z e. R. )
5		opelreal 7635	. . . . . 6 |- ( <. w , 0R >. e. RR <-> w e. R. )
6	4, 5	anbi12i 455	. . . . 5 |- ( ( <. z , 0R >. e. RR /\ <. w , 0R >. e. RR ) <-> ( z e. R. /\ w e. R. ) )
7	6	biimpri 132	. . . 4 |- ( ( z e. R. /\ w e. R. ) -> ( <. z , 0R >. e. RR /\ <. w , 0R >. e. RR ) )
8		df-i 7629	. . . . . . . . 9 |- _i = <. 0R , 1R >.
9	8	oveq1i 5784	. . . . . . . 8 |- ( _i x. <. w , 0R >. ) = ( <. 0R , 1R >. x. <. w , 0R >. )
10		0r 7558	. . . . . . . . . 10 |- 0R e. R.
11		1sr 7559	. . . . . . . . . . 11 |- 1R e. R.
12		mulcnsr 7643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 0R e. R. /\ 1R e. R. ) /\ ( w e. R. /\ 0R e. R. ) ) -> ( <. 0R , 1R >. x. <. w , 0R >. ) = <. ( ( 0R .R w ) +R ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) ) , ( ( 1R .R w ) +R ( 0R .R 0R ) ) >. )
13	10, 11, 12	mpanl12 432	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. R. /\ 0R e. R. ) -> ( <. 0R , 1R >. x. <. w , 0R >. ) = <. ( ( 0R .R w ) +R ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) ) , ( ( 1R .R w ) +R ( 0R .R 0R ) ) >. )
14	10, 13	mpan2 421	. . . . . . . . 9 |- ( w e. R. -> ( <. 0R , 1R >. x. <. w , 0R >. ) = <. ( ( 0R .R w ) +R ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) ) , ( ( 1R .R w ) +R ( 0R .R 0R ) ) >. )
15		mulcomsrg 7565	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0R e. R. /\ w e. R. ) -> ( 0R .R w ) = ( w .R 0R ) )
16	10, 15	mpan 420	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. R. -> ( 0R .R w ) = ( w .R 0R ) )
17		00sr 7577	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. R. -> ( w .R 0R ) = 0R )
18	16, 17	eqtrd 2172	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. R. -> ( 0R .R w ) = 0R )
19	18	oveq1d 5789	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. R. -> ( ( 0R .R w ) +R ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) ) = ( 0R +R ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) ) )
20		00sr 7577	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1R e. R. -> ( 1R .R 0R ) = 0R )
21	11, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1R .R 0R ) = 0R
22	21	oveq2i 5785	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) = ( -1R .R 0R )
23		m1r 7560	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -1R e. R.
24		00sr 7577	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -1R e. R. -> ( -1R .R 0R ) = 0R )
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -1R .R 0R ) = 0R
26	22, 25	eqtri 2160	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) = 0R
27	26	oveq2i 5785	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0R +R ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) ) = ( 0R +R 0R )
28		0idsr 7575	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0R e. R. -> ( 0R +R 0R ) = 0R )
29	10, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0R +R 0R ) = 0R
30	27, 29	eqtri 2160	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0R +R ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) ) = 0R
31	19, 30	syl6eq 2188	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. R. -> ( ( 0R .R w ) +R ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) ) = 0R )
32		mulcomsrg 7565	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1R e. R. /\ w e. R. ) -> ( 1R .R w ) = ( w .R 1R ) )
33	11, 32	mpan 420	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. R. -> ( 1R .R w ) = ( w .R 1R ) )
34		1idsr 7576	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. R. -> ( w .R 1R ) = w )
35	33, 34	eqtrd 2172	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. R. -> ( 1R .R w ) = w )
36	35	oveq1d 5789	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. R. -> ( ( 1R .R w ) +R ( 0R .R 0R ) ) = ( w +R ( 0R .R 0R ) ) )
37		00sr 7577	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0R e. R. -> ( 0R .R 0R ) = 0R )
38	10, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0R .R 0R ) = 0R
39	38	oveq2i 5785	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w +R ( 0R .R 0R ) ) = ( w +R 0R )
40		0idsr 7575	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. R. -> ( w +R 0R ) = w )
41	39, 40	syl5eq 2184	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. R. -> ( w +R ( 0R .R 0R ) ) = w )
42	36, 41	eqtrd 2172	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. R. -> ( ( 1R .R w ) +R ( 0R .R 0R ) ) = w )
43	31, 42	opeq12d 3713	. . . . . . . . 9 |- ( w e. R. -> <. ( ( 0R .R w ) +R ( -1R .R ( 1R .R 0R ) ) ) , ( ( 1R .R w ) +R ( 0R .R 0R ) ) >. = <. 0R , w >. )
44	14, 43	eqtrd 2172	. . . . . . . 8 |- ( w e. R. -> ( <. 0R , 1R >. x. <. w , 0R >. ) = <. 0R , w >. )
45	9, 44	syl5eq 2184	. . . . . . 7 |- ( w e. R. -> ( _i x. <. w , 0R >. ) = <. 0R , w >. )
46	45	oveq2d 5790	. . . . . 6 |- ( w e. R. -> ( <. z , 0R >. + ( _i x. <. w , 0R >. ) ) = ( <. z , 0R >. + <. 0R , w >. ) )
47	46	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( z e. R. /\ w e. R. ) -> ( <. z , 0R >. + ( _i x. <. w , 0R >. ) ) = ( <. z , 0R >. + <. 0R , w >. ) )
48		addcnsr 7642	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e. R. /\ 0R e. R. ) /\ ( 0R e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( <. z , 0R >. + <. 0R , w >. ) = <. ( z +R 0R ) , ( 0R +R w ) >. )
49	10, 48	mpanl2 431	. . . . . 6 |- ( ( z e. R. /\ ( 0R e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( <. z , 0R >. + <. 0R , w >. ) = <. ( z +R 0R ) , ( 0R +R w ) >. )
50	10, 49	mpanr1 433	. . . . 5 |- ( ( z e. R. /\ w e. R. ) -> ( <. z , 0R >. + <. 0R , w >. ) = <. ( z +R 0R ) , ( 0R +R w ) >. )
51		0idsr 7575	. . . . . 6 |- ( z e. R. -> ( z +R 0R ) = z )
52		addcomsrg 7563	. . . . . . . 8 |- ( ( 0R e. R. /\ w e. R. ) -> ( 0R +R w ) = ( w +R 0R ) )
53	10, 52	mpan 420	. . . . . . 7 |- ( w e. R. -> ( 0R +R w ) = ( w +R 0R ) )
54	53, 40	eqtrd 2172	. . . . . 6 |- ( w e. R. -> ( 0R +R w ) = w )
55		opeq12 3707	. . . . . 6 |- ( ( ( z +R 0R ) = z /\ ( 0R +R w ) = w ) -> <. ( z +R 0R ) , ( 0R +R w ) >. = <. z , w >. )
56	51, 54, 55	syl2an 287	. . . . 5 |- ( ( z e. R. /\ w e. R. ) -> <. ( z +R 0R ) , ( 0R +R w ) >. = <. z , w >. )
57	47, 50, 56	3eqtrrd 2177	. . . 4 |- ( ( z e. R. /\ w e. R. ) -> <. z , w >. = ( <. z , 0R >. + ( _i x. <. w , 0R >. ) ) )
58		vex 2689	. . . . . 6 |- z e. _V
59		opexg 4150	. . . . . 6 |- ( ( z e. _V /\ 0R e. R. ) -> <. z , 0R >. e. _V )
60	58, 10, 59	mp2an 422	. . . . 5 |- <. z , 0R >. e. _V
61		vex 2689	. . . . . 6 |- w e. _V
62		opexg 4150	. . . . . 6 |- ( ( w e. _V /\ 0R e. R. ) -> <. w , 0R >. e. _V )
63	61, 10, 62	mp2an 422	. . . . 5 |- <. w , 0R >. e. _V
64		eleq1 2202	. . . . . . 7 |- ( x = <. z , 0R >. -> ( x e. RR <-> <. z , 0R >. e. RR ) )
65		eleq1 2202	. . . . . . 7 |- ( y = <. w , 0R >. -> ( y e. RR <-> <. w , 0R >. e. RR ) )
66	64, 65	bi2anan9 595	. . . . . 6 |- ( ( x = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) -> ( ( x e. RR /\ y e. RR ) <-> ( <. z , 0R >. e. RR /\ <. w , 0R >. e. RR ) ) )
67		oveq1 5781	. . . . . . . 8 |- ( x = <. z , 0R >. -> ( x + ( _i x. y ) ) = ( <. z , 0R >. + ( _i x. y ) ) )
68		oveq2 5782	. . . . . . . . 9 |- ( y = <. w , 0R >. -> ( _i x. y ) = ( _i x. <. w , 0R >. ) )
69	68	oveq2d 5790	. . . . . . . 8 |- ( y = <. w , 0R >. -> ( <. z , 0R >. + ( _i x. y ) ) = ( <. z , 0R >. + ( _i x. <. w , 0R >. ) ) )
70	67, 69	sylan9eq 2192	. . . . . . 7 |- ( ( x = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) -> ( x + ( _i x. y ) ) = ( <. z , 0R >. + ( _i x. <. w , 0R >. ) ) )
71	70	eqeq2d 2151	. . . . . 6 |- ( ( x = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) -> ( <. z , w >. = ( x + ( _i x. y ) ) <-> <. z , w >. = ( <. z , 0R >. + ( _i x. <. w , 0R >. ) ) ) )
72	66, 71	anbi12d 464	. . . . 5 |- ( ( x = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) -> ( ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ <. z , w >. = ( x + ( _i x. y ) ) ) <-> ( ( <. z , 0R >. e. RR /\ <. w , 0R >. e. RR ) /\ <. z , w >. = ( <. z , 0R >. + ( _i x. <. w , 0R >. ) ) ) ) )
73	60, 63, 72	spc2ev 2781	. . . 4 |- ( ( ( <. z , 0R >. e. RR /\ <. w , 0R >. e. RR ) /\ <. z , w >. = ( <. z , 0R >. + ( _i x. <. w , 0R >. ) ) ) -> E. x E. y ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ <. z , w >. = ( x + ( _i x. y ) ) ) )
74	7, 57, 73	syl2anc 408	. . 3 |- ( ( z e. R. /\ w e. R. ) -> E. x E. y ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ <. z , w >. = ( x + ( _i x. y ) ) ) )
75		r2ex 2455	. . 3 |- ( E. x e. RR E. y e. RR <. z , w >. = ( x + ( _i x. y ) ) <-> E. x E. y ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ <. z , w >. = ( x + ( _i x. y ) ) ) )
76	74, 75	sylibr 133	. 2 |- ( ( z e. R. /\ w e. R. ) -> E. x e. RR E. y e. RR <. z , w >. = ( x + ( _i x. y ) ) )
77	1, 3, 76	optocl 4615	1 |- ( A e. CC -> E. x e. RR E. y e. RR A = ( x + ( _i x. y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   E.wrex 2417   _Vcvv 2686   <.cop 3530  (class class class)co 5774   R.cnr 7105   0Rc0r 7106   1Rc1r 7107   -1Rcm1r 7108   +R cplr 7109   .R cmr 7110   CCcc 7618   RRcr 7619   _ici 7622   + caddc 7623   x. cmul 7625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-2o 6314  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7112  df-pli 7113  df-mi 7114  df-lti 7115  df-plpq 7152  df-mpq 7153  df-enq 7155  df-nqqs 7156  df-plqqs 7157  df-mqqs 7158  df-1nqqs 7159  df-rq 7160  df-ltnqqs 7161  df-enq0 7232  df-nq0 7233  df-0nq0 7234  df-plq0 7235  df-mq0 7236  df-inp 7274  df-i1p 7275  df-iplp 7276  df-imp 7277  df-enr 7534  df-nr 7535  df-plr 7536  df-mr 7537  df-0r 7539  df-1r 7540  df-m1r 7541  df-c 7626  df-i 7629  df-r 7630  df-add 7631  df-mul 7632

This theorem is referenced by: (None)