ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axmulcl Unicode version

Theorem axmulcl 7000
Description: Closure law for multiplication of complex numbers. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-mulcl 7040 be used later. Instead, in most cases use mulcl 7066. (Contributed by NM, 10-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axmulcl  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  B
)  e.  CC )

Proof of Theorem axmulcl
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxpi 4389 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( R.  X.  R. )  ->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
) )
2 df-c 6953 . . . . 5  |-  CC  =  ( R.  X.  R. )
31, 2eleq2s 2148 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
) )
4 elxpi 4389 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( R.  X.  R. )  ->  E. z E. w ( B  = 
<. z ,  w >.  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
) )
54, 2eleq2s 2148 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  E. z E. w ( B  = 
<. z ,  w >.  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
) )
63, 5anim12i 325 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  E. z E. w ( B  = 
<. z ,  w >.  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
) ) )
7 ee4anv 1825 . . 3  |-  ( E. x E. y E. z E. w ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  <->  ( E. x E. y ( A  =  <. x ,  y
>.  /\  ( x  e. 
R.  /\  y  e.  R. ) )  /\  E. z E. w ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) ) )
86, 7sylibr 141 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  E. x E. y E. z E. w ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) ) )
9 simpll 489 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  ->  A  =  <. x ,  y >. )
10 simprl 491 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  ->  B  =  <. z ,  w >. )
119, 10oveq12d 5558 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  -> 
( A  x.  B
)  =  ( <.
x ,  y >.  x.  <. z ,  w >. ) )
12 mulcnsr 6969 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( <. x ,  y >.  x.  <. z ,  w >. )  =  <. ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) ) ,  ( ( y  .R  z
)  +R  ( x  .R  w ) )
>. )
1312ad2ant2l 485 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  -> 
( <. x ,  y
>.  x.  <. z ,  w >. )  =  <. (
( x  .R  z
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  w ) ) ) ,  ( ( y  .R  z )  +R  ( x  .R  w
) ) >. )
1411, 13eqtrd 2088 . . . . 5  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  -> 
( A  x.  B
)  =  <. (
( x  .R  z
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  w ) ) ) ,  ( ( y  .R  z )  +R  ( x  .R  w
) ) >. )
15 simplrl 495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  ->  x  e.  R. )
16 simprrl 499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  -> 
z  e.  R. )
17 mulclsr 6897 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( x  .R  z
)  e.  R. )
1815, 16, 17syl2anc 397 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  -> 
( x  .R  z
)  e.  R. )
19 m1r 6895 . . . . . . . . . 10  |-  -1R  e.  R.
2019a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  ->  -1R  e.  R. )
21 simplrr 496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  -> 
y  e.  R. )
22 simprrr 500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  ->  w  e.  R. )
23 mulclsr 6897 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( y  .R  w
)  e.  R. )
2421, 22, 23syl2anc 397 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  -> 
( y  .R  w
)  e.  R. )
25 mulclsr 6897 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -1R  e.  R.  /\  ( y  .R  w
)  e.  R. )  ->  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
)  e.  R. )
2620, 24, 25syl2anc 397 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  -> 
( -1R  .R  (
y  .R  w )
)  e.  R. )
27 addclsr 6896 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .R  z
)  e.  R.  /\  ( -1R  .R  ( y  .R  w ) )  e.  R. )  -> 
( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  w ) ) )  e.  R. )
2818, 26, 27syl2anc 397 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  -> 
( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  w ) ) )  e.  R. )
29 mulclsr 6897 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( y  .R  z
)  e.  R. )
3021, 16, 29syl2anc 397 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  -> 
( y  .R  z
)  e.  R. )
31 mulclsr 6897 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( x  .R  w
)  e.  R. )
3215, 22, 31syl2anc 397 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  -> 
( x  .R  w
)  e.  R. )
33 addclsr 6896 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  .R  z
)  e.  R.  /\  ( x  .R  w
)  e.  R. )  ->  ( ( y  .R  z )  +R  (
x  .R  w )
)  e.  R. )
3430, 32, 33syl2anc 397 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  -> 
( ( y  .R  z )  +R  (
x  .R  w )
)  e.  R. )
35 opelxpi 4404 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  w ) ) )  e.  R.  /\  (
( y  .R  z
)  +R  ( x  .R  w ) )  e.  R. )  ->  <. ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  w ) ) ) ,  ( ( y  .R  z )  +R  ( x  .R  w
) ) >.  e.  ( R.  X.  R. )
)
3628, 34, 35syl2anc 397 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  ->  <. ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  w ) ) ) ,  ( ( y  .R  z )  +R  ( x  .R  w
) ) >.  e.  ( R.  X.  R. )
)
3736, 2syl6eleqr 2147 . . . . 5  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  ->  <. ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  w ) ) ) ,  ( ( y  .R  z )  +R  ( x  .R  w
) ) >.  e.  CC )
3814, 37eqeltrd 2130 . . . 4  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  -> 
( A  x.  B
)  e.  CC )
3938exlimivv 1792 . . 3  |-  ( E. z E. w ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  -> 
( A  x.  B
)  e.  CC )
4039exlimivv 1792 . 2  |-  ( E. x E. y E. z E. w ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  -> 
( A  x.  B
)  e.  CC )
418, 40syl 14 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  B
)  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    = wceq 1259   E.wex 1397    e. wcel 1409   <.cop 3406    X. cxp 4371  (class class class)co 5540   R.cnr 6453   -1Rcm1r 6456    +R cplr 6457    .R cmr 6458   CCcc 6945    x. cmul 6952
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-imp 6625  df-enr 6869  df-nr 6870  df-plr 6871  df-mr 6872  df-m1r 6876  df-c 6953  df-mul 6959
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator