ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axpre-ltwlin Unicode version

Theorem axpre-ltwlin 7188
Description: Real number less-than is weakly linear. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-ltwlin 7228. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jan-2020.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axpre-ltwlin  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <RR  B  ->  ( A  <RR  C  \/  C  <RR  B ) ) )

Proof of Theorem axpre-ltwlin
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 7136 . 2  |-  ( A  e.  RR  <->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
2 elreal 7136 . 2  |-  ( B  e.  RR  <->  E. y  e.  R.  <. y ,  0R >.  =  B )
3 elreal 7136 . 2  |-  ( C  e.  RR  <->  E. z  e.  R.  <. z ,  0R >.  =  C )
4 breq1 3809 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( <. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  A  <RR  <. y ,  0R >. ) )
5 breq1 3809 . . . 4  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( <. x ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >.  <->  A  <RR  <. z ,  0R >. ) )
65orbi1d 738 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( ( <. x ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >.  \/ 
<. z ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >. )  <-> 
( A  <RR  <. z ,  0R >.  \/  <. z ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >. ) ) )
74, 6imbi12d 232 . 2  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( ( <. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  -> 
( <. x ,  0R >. 
<RR  <. z ,  0R >.  \/  <. z ,  0R >. 
<RR  <. y ,  0R >. ) )  <->  ( A  <RR 
<. y ,  0R >.  -> 
( A  <RR  <. z ,  0R >.  \/  <. z ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >. ) ) ) )
8 breq2 3810 . . 3  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( A  <RR 
<. y ,  0R >.  <->  A  <RR  B ) )
9 breq2 3810 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( <. z ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  <. z ,  0R >. 
<RR  B ) )
109orbi2d 737 . . 3  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( ( A  <RR  <. z ,  0R >.  \/  <. z ,  0R >. 
<RR  <. y ,  0R >. )  <->  ( A  <RR  <.
z ,  0R >.  \/ 
<. z ,  0R >.  <RR  B ) ) )
118, 10imbi12d 232 . 2  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( ( A  <RR  <. y ,  0R >.  ->  ( A  <RR  <.
z ,  0R >.  \/ 
<. z ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >. ) )  <->  ( A  <RR  B  ->  ( A  <RR  <.
z ,  0R >.  \/ 
<. z ,  0R >.  <RR  B ) ) ) )
12 breq2 3810 . . . 4  |-  ( <.
z ,  0R >.  =  C  ->  ( A  <RR 
<. z ,  0R >.  <->  A  <RR  C ) )
13 breq1 3809 . . . 4  |-  ( <.
z ,  0R >.  =  C  ->  ( <. z ,  0R >.  <RR  B  <->  C  <RR  B ) )
1412, 13orbi12d 740 . . 3  |-  ( <.
z ,  0R >.  =  C  ->  ( ( A  <RR  <. z ,  0R >.  \/  <. z ,  0R >. 
<RR  B )  <->  ( A  <RR  C  \/  C  <RR  B ) ) )
1514imbi2d 228 . 2  |-  ( <.
z ,  0R >.  =  C  ->  ( ( A  <RR  B  ->  ( A  <RR  <. z ,  0R >.  \/  <. z ,  0R >. 
<RR  B ) )  <->  ( A  <RR  B  ->  ( A  <RR  C  \/  C  <RR  B ) ) ) )
16 ltsosr 7080 . . . 4  |-  <R  Or  R.
17 sowlin 4104 . . . 4  |-  ( ( 
<R  Or  R.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R.  /\  z  e.  R. ) )  -> 
( x  <R  y  ->  ( x  <R  z  \/  z  <R  y ) ) )
1816, 17mpan 415 . . 3  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  (
x  <R  y  ->  (
x  <R  z  \/  z  <R  y ) ) )
19 ltresr 7146 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  x  <R  y )
20 ltresr 7146 . . . 4  |-  ( <.
x ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >.  <->  x  <R  z )
21 ltresr 7146 . . . 4  |-  ( <.
z ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  z  <R  y )
2220, 21orbi12i 714 . . 3  |-  ( (
<. x ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >.  \/ 
<. z ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >. )  <-> 
( x  <R  z  \/  z  <R  y ) )
2318, 19, 223imtr4g 203 . 2  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( <. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  -> 
( <. x ,  0R >. 
<RR  <. z ,  0R >.  \/  <. z ,  0R >. 
<RR  <. y ,  0R >. ) ) )
241, 2, 3, 7, 11, 15, 233gencl 2643 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <RR  B  ->  ( A  <RR  C  \/  C  <RR  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 662    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434   <.cop 3420   class class class wbr 3806    Or wor 4079   R.cnr 6626   0Rc0r 6627    <R cltr 6632   RRcr 7119    <RR cltrr 7124
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3914  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-iinf 4358
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2613  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-tr 3897  df-eprel 4073  df-id 4077  df-po 4080  df-iso 4081  df-iord 4150  df-on 4152  df-suc 4155  df-iom 4361  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-fo 4959  df-f1o 4960  df-fv 4961  df-ov 5568  df-oprab 5569  df-mpt2 5570  df-1st 5820  df-2nd 5821  df-recs 5976  df-irdg 6041  df-1o 6087  df-2o 6088  df-oadd 6091  df-omul 6092  df-er 6195  df-ec 6197  df-qs 6201  df-ni 6633  df-pli 6634  df-mi 6635  df-lti 6636  df-plpq 6673  df-mpq 6674  df-enq 6676  df-nqqs 6677  df-plqqs 6678  df-mqqs 6679  df-1nqqs 6680  df-rq 6681  df-ltnqqs 6682  df-enq0 6753  df-nq0 6754  df-0nq0 6755  df-plq0 6756  df-mq0 6757  df-inp 6795  df-i1p 6796  df-iplp 6797  df-iltp 6799  df-enr 7042  df-nr 7043  df-ltr 7046  df-0r 7047  df-r 7130  df-lt 7133
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator