ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axprecex Unicode version

Theorem axprecex 7656
Description: Existence of positive reciprocal of positive real number. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-precex 7698.

In treatments which assume excluded middle, the  0 
<RR  A condition is generally replaced by  A  =/=  0, and it may not be necessary to state that the reciproacal is positive. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion
Ref Expression
axprecex  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <RR  A )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  /\  ( A  x.  x
)  =  1 ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem axprecex
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 7604 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  <->  E. y  e.  R.  <. y ,  0R >.  =  A )
2 df-rex 2399 . . . 4  |-  ( E. y  e.  R.  <. y ,  0R >.  =  A  <->  E. y ( y  e. 
R.  /\  <. y ,  0R >.  =  A
) )
31, 2bitri 183 . . 3  |-  ( A  e.  RR  <->  E. y
( y  e.  R.  /\ 
<. y ,  0R >.  =  A ) )
4 breq2 3903 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  A  ->  ( 0 
<RR  <. y ,  0R >.  <->  0  <RR  A ) )
5 oveq1 5749 . . . . . . 7  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  A  ->  ( <. y ,  0R >.  x.  x
)  =  ( A  x.  x ) )
65eqeq1d 2126 . . . . . 6  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  A  ->  ( ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1  <-> 
( A  x.  x
)  =  1 ) )
76anbi2d 459 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  A  ->  ( (
0  <RR  x  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1 )  <->  ( 0  <RR  x  /\  ( A  x.  x )  =  1 ) ) )
87rexbidv 2415 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  A  ->  ( E. x  e.  RR  (
0  <RR  x  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1 )  <->  E. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  /\  ( A  x.  x
)  =  1 ) ) )
94, 8imbi12d 233 . . 3  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  A  ->  ( (
0  <RR  <. y ,  0R >.  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1 ) )  <->  ( 0 
<RR  A  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  /\  ( A  x.  x )  =  1 ) ) ) )
10 df-0 7595 . . . . . 6  |-  0  =  <. 0R ,  0R >.
1110breq1i 3906 . . . . 5  |-  ( 0 
<RR  <. y ,  0R >.  <->  <. 0R ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >. )
12 ltresr 7615 . . . . 5  |-  ( <. 0R ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  0R  <R  y )
1311, 12bitri 183 . . . 4  |-  ( 0 
<RR  <. y ,  0R >.  <-> 
0R  <R  y )
14 recexgt0sr 7549 . . . . 5  |-  ( 0R 
<R  y  ->  E. z  e.  R.  ( 0R  <R  z  /\  ( y  .R  z )  =  1R ) )
15 opelreal 7603 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
z ,  0R >.  e.  RR  <->  z  e.  R. )
1615anbi1i 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. z ,  0R >.  e.  RR  /\  ( 0 
<RR  <. z ,  0R >.  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  1 ) )  <->  ( z  e.  R.  /\  ( 0 
<RR  <. z ,  0R >.  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  1 ) ) )
1710breq1i 3906 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 
<RR  <. z ,  0R >.  <->  <. 0R ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >. )
18 ltresr 7615 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <. 0R ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >.  <->  0R  <R  z )
1917, 18bitri 183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 
<RR  <. z ,  0R >.  <-> 
0R  <R  z )
2019a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( 0  <RR  <. z ,  0R >.  <->  0R  <R  z ) )
21 mulresr 7614 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  <. (
y  .R  z ) ,  0R >. )
2221eqeq1d 2126 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  1  <->  <. ( y  .R  z
) ,  0R >.  =  1 ) )
23 df-1 7596 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  =  <. 1R ,  0R >.
2423eqeq2i 2128 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
( y  .R  z
) ,  0R >.  =  1  <->  <. ( y  .R  z ) ,  0R >.  =  <. 1R ,  0R >. )
25 eqid 2117 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0R  =  0R
26 1sr 7527 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1R  e.  R.
27 0r 7526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0R  e.  R.
28 opthg2 4131 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1R  e.  R.  /\  0R  e.  R. )  -> 
( <. ( y  .R  z ) ,  0R >.  =  <. 1R ,  0R >.  <-> 
( ( y  .R  z )  =  1R  /\  0R  =  0R ) ) )
2926, 27, 28mp2an 422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
( y  .R  z
) ,  0R >.  = 
<. 1R ,  0R >.  <->  (
( y  .R  z
)  =  1R  /\  0R  =  0R )
)
3025, 29mpbiran2 910 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
( y  .R  z
) ,  0R >.  = 
<. 1R ,  0R >.  <->  (
y  .R  z )  =  1R )
3124, 30bitri 183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
( y  .R  z
) ,  0R >.  =  1  <->  ( y  .R  z )  =  1R )
3222, 31syl6bb 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  1  <-> 
( y  .R  z
)  =  1R )
)
3320, 32anbi12d 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( ( 0  <RR  <.
z ,  0R >.  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  1 )  <-> 
( 0R  <R  z  /\  ( y  .R  z
)  =  1R )
) )
3433pm5.32da 447 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  R.  ->  (
( z  e.  R.  /\  ( 0  <RR  <. z ,  0R >.  /\  ( <. y ,  0R >.  x. 
<. z ,  0R >. )  =  1 ) )  <-> 
( z  e.  R.  /\  ( 0R  <R  z  /\  ( y  .R  z
)  =  1R )
) ) )
3516, 34syl5bb 191 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  R.  ->  (
( <. z ,  0R >.  e.  RR  /\  (
0  <RR  <. z ,  0R >.  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  1 ) )  <->  ( z  e.  R.  /\  ( 0R 
<R  z  /\  (
y  .R  z )  =  1R ) ) ) )
36 breq2 3903 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  <. z ,  0R >.  ->  ( 0  <RR  x  <->  0  <RR  <. z ,  0R >. ) )
37 oveq2 5750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  <. z ,  0R >.  ->  ( <. y ,  0R >.  x.  x
)  =  ( <.
y ,  0R >.  x. 
<. z ,  0R >. ) )
3837eqeq1d 2126 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  <. z ,  0R >.  ->  ( ( <.
y ,  0R >.  x.  x )  =  1  <-> 
( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  1 ) )
3936, 38anbi12d 464 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  <. z ,  0R >.  ->  ( ( 0 
<RR  x  /\  ( <.
y ,  0R >.  x.  x )  =  1 )  <->  ( 0  <RR  <.
z ,  0R >.  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  1 ) ) )
4039rspcev 2763 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. z ,  0R >.  e.  RR  /\  ( 0 
<RR  <. z ,  0R >.  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  1 ) )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  x
)  =  1 ) )
4135, 40syl6bir 163 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  R.  ->  (
( z  e.  R.  /\  ( 0R  <R  z  /\  ( y  .R  z
)  =  1R )
)  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  x
)  =  1 ) ) )
4241expd 256 . . . . . 6  |-  ( y  e.  R.  ->  (
z  e.  R.  ->  ( ( 0R  <R  z  /\  ( y  .R  z
)  =  1R )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1 ) ) ) )
4342rexlimdv 2525 . . . . 5  |-  ( y  e.  R.  ->  ( E. z  e.  R.  ( 0R  <R  z  /\  ( y  .R  z
)  =  1R )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1 ) ) )
4414, 43syl5 32 . . . 4  |-  ( y  e.  R.  ->  ( 0R  <R  y  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  x
)  =  1 ) ) )
4513, 44syl5bi 151 . . 3  |-  ( y  e.  R.  ->  (
0  <RR  <. y ,  0R >.  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1 ) ) )
463, 9, 45gencl 2692 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <RR  A  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  /\  ( A  x.  x )  =  1 ) ) )
4746imp 123 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <RR  A )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  /\  ( A  x.  x
)  =  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1316   E.wex 1453    e. wcel 1465   E.wrex 2394   <.cop 3500   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742   R.cnr 7073   0Rc0r 7074   1Rc1r 7075    .R cmr 7078    <R cltr 7079   RRcr 7587   0cc0 7588   1c1 7589    <RR cltrr 7592    x. cmul 7593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-eprel 4181  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-1o 6281  df-2o 6282  df-oadd 6285  df-omul 6286  df-er 6397  df-ec 6399  df-qs 6403  df-ni 7080  df-pli 7081  df-mi 7082  df-lti 7083  df-plpq 7120  df-mpq 7121  df-enq 7123  df-nqqs 7124  df-plqqs 7125  df-mqqs 7126  df-1nqqs 7127  df-rq 7128  df-ltnqqs 7129  df-enq0 7200  df-nq0 7201  df-0nq0 7202  df-plq0 7203  df-mq0 7204  df-inp 7242  df-i1p 7243  df-iplp 7244  df-imp 7245  df-iltp 7246  df-enr 7502  df-nr 7503  df-plr 7504  df-mr 7505  df-ltr 7506  df-0r 7507  df-1r 7508  df-m1r 7509  df-c 7594  df-0 7595  df-1 7596  df-r 7598  df-mul 7600  df-lt 7601
This theorem is referenced by:  rereceu  7665  recriota  7666
  Copyright terms: Public domain W3C validator