ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axprecex Unicode version

Theorem axprecex 7012
Description: Existence of positive reciprocal of positive real number. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-precex 7052.

In treatments which assume excluded middle, the  0 
<RR  A condition is generally replaced by  A  =/=  0, and it may not be necessary to state that the reciproacal is positive. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion
Ref Expression
axprecex  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <RR  A )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  /\  ( A  x.  x
)  =  1 ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem axprecex
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 6963 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  <->  E. y  e.  R.  <. y ,  0R >.  =  A )
2 df-rex 2329 . . . 4  |-  ( E. y  e.  R.  <. y ,  0R >.  =  A  <->  E. y ( y  e. 
R.  /\  <. y ,  0R >.  =  A
) )
31, 2bitri 177 . . 3  |-  ( A  e.  RR  <->  E. y
( y  e.  R.  /\ 
<. y ,  0R >.  =  A ) )
4 breq2 3796 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  A  ->  ( 0 
<RR  <. y ,  0R >.  <->  0  <RR  A ) )
5 oveq1 5547 . . . . . . 7  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  A  ->  ( <. y ,  0R >.  x.  x
)  =  ( A  x.  x ) )
65eqeq1d 2064 . . . . . 6  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  A  ->  ( ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1  <-> 
( A  x.  x
)  =  1 ) )
76anbi2d 445 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  A  ->  ( (
0  <RR  x  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1 )  <->  ( 0  <RR  x  /\  ( A  x.  x )  =  1 ) ) )
87rexbidv 2344 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  A  ->  ( E. x  e.  RR  (
0  <RR  x  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1 )  <->  E. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  /\  ( A  x.  x
)  =  1 ) ) )
94, 8imbi12d 227 . . 3  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  A  ->  ( (
0  <RR  <. y ,  0R >.  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1 ) )  <->  ( 0 
<RR  A  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  /\  ( A  x.  x )  =  1 ) ) ) )
10 df-0 6954 . . . . . 6  |-  0  =  <. 0R ,  0R >.
1110breq1i 3799 . . . . 5  |-  ( 0 
<RR  <. y ,  0R >.  <->  <. 0R ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >. )
12 ltresr 6973 . . . . 5  |-  ( <. 0R ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  0R  <R  y )
1311, 12bitri 177 . . . 4  |-  ( 0 
<RR  <. y ,  0R >.  <-> 
0R  <R  y )
14 recexgt0sr 6916 . . . . 5  |-  ( 0R 
<R  y  ->  E. z  e.  R.  ( 0R  <R  z  /\  ( y  .R  z )  =  1R ) )
15 opelreal 6962 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
z ,  0R >.  e.  RR  <->  z  e.  R. )
1615anbi1i 439 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. z ,  0R >.  e.  RR  /\  ( 0 
<RR  <. z ,  0R >.  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  1 ) )  <->  ( z  e.  R.  /\  ( 0 
<RR  <. z ,  0R >.  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  1 ) ) )
1710breq1i 3799 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 
<RR  <. z ,  0R >.  <->  <. 0R ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >. )
18 ltresr 6973 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <. 0R ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >.  <->  0R  <R  z )
1917, 18bitri 177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 
<RR  <. z ,  0R >.  <-> 
0R  <R  z )
2019a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( 0  <RR  <. z ,  0R >.  <->  0R  <R  z ) )
21 mulresr 6972 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  <. (
y  .R  z ) ,  0R >. )
2221eqeq1d 2064 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  1  <->  <. ( y  .R  z
) ,  0R >.  =  1 ) )
23 df-1 6955 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  =  <. 1R ,  0R >.
2423eqeq2i 2066 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
( y  .R  z
) ,  0R >.  =  1  <->  <. ( y  .R  z ) ,  0R >.  =  <. 1R ,  0R >. )
25 eqid 2056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0R  =  0R
26 1sr 6894 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1R  e.  R.
27 0r 6893 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0R  e.  R.
28 opthg2 4004 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1R  e.  R.  /\  0R  e.  R. )  -> 
( <. ( y  .R  z ) ,  0R >.  =  <. 1R ,  0R >.  <-> 
( ( y  .R  z )  =  1R  /\  0R  =  0R ) ) )
2926, 27, 28mp2an 410 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
( y  .R  z
) ,  0R >.  = 
<. 1R ,  0R >.  <->  (
( y  .R  z
)  =  1R  /\  0R  =  0R )
)
3025, 29mpbiran2 859 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
( y  .R  z
) ,  0R >.  = 
<. 1R ,  0R >.  <->  (
y  .R  z )  =  1R )
3124, 30bitri 177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
( y  .R  z
) ,  0R >.  =  1  <->  ( y  .R  z )  =  1R )
3222, 31syl6bb 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  1  <-> 
( y  .R  z
)  =  1R )
)
3320, 32anbi12d 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( ( 0  <RR  <.
z ,  0R >.  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  1 )  <-> 
( 0R  <R  z  /\  ( y  .R  z
)  =  1R )
) )
3433pm5.32da 433 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  R.  ->  (
( z  e.  R.  /\  ( 0  <RR  <. z ,  0R >.  /\  ( <. y ,  0R >.  x. 
<. z ,  0R >. )  =  1 ) )  <-> 
( z  e.  R.  /\  ( 0R  <R  z  /\  ( y  .R  z
)  =  1R )
) ) )
3516, 34syl5bb 185 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  R.  ->  (
( <. z ,  0R >.  e.  RR  /\  (
0  <RR  <. z ,  0R >.  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  1 ) )  <->  ( z  e.  R.  /\  ( 0R 
<R  z  /\  (
y  .R  z )  =  1R ) ) ) )
36 breq2 3796 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  <. z ,  0R >.  ->  ( 0  <RR  x  <->  0  <RR  <. z ,  0R >. ) )
37 oveq2 5548 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  <. z ,  0R >.  ->  ( <. y ,  0R >.  x.  x
)  =  ( <.
y ,  0R >.  x. 
<. z ,  0R >. ) )
3837eqeq1d 2064 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  <. z ,  0R >.  ->  ( ( <.
y ,  0R >.  x.  x )  =  1  <-> 
( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  1 ) )
3936, 38anbi12d 450 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  <. z ,  0R >.  ->  ( ( 0 
<RR  x  /\  ( <.
y ,  0R >.  x.  x )  =  1 )  <->  ( 0  <RR  <.
z ,  0R >.  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  1 ) ) )
4039rspcev 2673 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. z ,  0R >.  e.  RR  /\  ( 0 
<RR  <. z ,  0R >.  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  1 ) )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  x
)  =  1 ) )
4135, 40syl6bir 157 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  R.  ->  (
( z  e.  R.  /\  ( 0R  <R  z  /\  ( y  .R  z
)  =  1R )
)  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  x
)  =  1 ) ) )
4241expd 249 . . . . . 6  |-  ( y  e.  R.  ->  (
z  e.  R.  ->  ( ( 0R  <R  z  /\  ( y  .R  z
)  =  1R )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1 ) ) ) )
4342rexlimdv 2449 . . . . 5  |-  ( y  e.  R.  ->  ( E. z  e.  R.  ( 0R  <R  z  /\  ( y  .R  z
)  =  1R )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1 ) ) )
4414, 43syl5 32 . . . 4  |-  ( y  e.  R.  ->  ( 0R  <R  y  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  x
)  =  1 ) ) )
4513, 44syl5bi 145 . . 3  |-  ( y  e.  R.  ->  (
0  <RR  <. y ,  0R >.  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1 ) ) )
463, 9, 45gencl 2603 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <RR  A  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  /\  ( A  x.  x )  =  1 ) ) )
4746imp 119 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <RR  A )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  /\  ( A  x.  x
)  =  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    = wceq 1259   E.wex 1397    e. wcel 1409   E.wrex 2324   <.cop 3406   class class class wbr 3792  (class class class)co 5540   R.cnr 6453   0Rc0r 6454   1Rc1r 6455    .R cmr 6458    <R cltr 6459   RRcr 6946   0cc0 6947   1c1 6948    <RR cltrr 6951    x. cmul 6952
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-imp 6625  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-plr 6871  df-mr 6872  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-m1r 6876  df-c 6953  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-mul 6959  df-lt 6960
This theorem is referenced by:  rereceu  7021  recriota  7022
  Copyright terms: Public domain W3C validator