Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axprecex Unicode version

Theorem axprecex 7012
 Description: Existence of positive reciprocal of positive real number. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-precex 7052. In treatments which assume excluded middle, the condition is generally replaced by , and it may not be necessary to state that the reciproacal is positive. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axprecex
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem axprecex
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 6963 . . . 4
2 df-rex 2329 . . . 4
31, 2bitri 177 . . 3
4 breq2 3796 . . . 4
5 oveq1 5547 . . . . . . 7
65eqeq1d 2064 . . . . . 6
76anbi2d 445 . . . . 5
87rexbidv 2344 . . . 4
94, 8imbi12d 227 . . 3
10 df-0 6954 . . . . . 6
1110breq1i 3799 . . . . 5
12 ltresr 6973 . . . . 5
1311, 12bitri 177 . . . 4
14 recexgt0sr 6916 . . . . 5
15 opelreal 6962 . . . . . . . . . 10
1615anbi1i 439 . . . . . . . . 9
1710breq1i 3799 . . . . . . . . . . . . 13
18 ltresr 6973 . . . . . . . . . . . . 13
1917, 18bitri 177 . . . . . . . . . . . 12
2019a1i 9 . . . . . . . . . . 11
21 mulresr 6972 . . . . . . . . . . . . 13
2221eqeq1d 2064 . . . . . . . . . . . 12
23 df-1 6955 . . . . . . . . . . . . . 14
2423eqeq2i 2066 . . . . . . . . . . . . 13
25 eqid 2056 . . . . . . . . . . . . . 14
26 1sr 6894 . . . . . . . . . . . . . . 15
27 0r 6893 . . . . . . . . . . . . . . 15
28 opthg2 4004 . . . . . . . . . . . . . . 15
2926, 27, 28mp2an 410 . . . . . . . . . . . . . 14
3025, 29mpbiran2 859 . . . . . . . . . . . . 13
3124, 30bitri 177 . . . . . . . . . . . 12
3222, 31syl6bb 189 . . . . . . . . . . 11
3320, 32anbi12d 450 . . . . . . . . . 10
3433pm5.32da 433 . . . . . . . . 9
3516, 34syl5bb 185 . . . . . . . 8
36 breq2 3796 . . . . . . . . . 10
37 oveq2 5548 . . . . . . . . . . 11
3837eqeq1d 2064 . . . . . . . . . 10
3936, 38anbi12d 450 . . . . . . . . 9
4039rspcev 2673 . . . . . . . 8
4135, 40syl6bir 157 . . . . . . 7
4241expd 249 . . . . . 6
4342rexlimdv 2449 . . . . 5
4414, 43syl5 32 . . . 4
4513, 44syl5bi 145 . . 3
463, 9, 45gencl 2603 . 2
4746imp 119 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 101   wb 102   wceq 1259  wex 1397   wcel 1409  wrex 2324  cop 3406   class class class wbr 3792  (class class class)co 5540  cnr 6453  c0r 6454  c1r 6455   cmr 6458   cltr 6459  cr 6946  cc0 6947  c1 6948   cltrr 6951   cmul 6952 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-imp 6625  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-plr 6871  df-mr 6872  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-m1r 6876  df-c 6953  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-mul 6959  df-lt 6960 This theorem is referenced by:  rereceu  7021  recriota  7022
 Copyright terms: Public domain W3C validator