ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axresscn Unicode version

Theorem axresscn 7160
Description: The real numbers are a subset of the complex numbers. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-resscn 7200. (Contributed by NM, 1-Mar-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 12-Aug-2011.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axresscn  |-  RR  C_  CC

Proof of Theorem axresscn
StepHypRef Expression
1 0r 7059 . . 3  |-  0R  e.  R.
2 snssi 3549 . . 3  |-  ( 0R  e.  R.  ->  { 0R }  C_  R. )
3 xpss2 4497 . . 3  |-  ( { 0R }  C_  R.  ->  ( R.  X.  { 0R } )  C_  ( R.  X.  R. ) )
41, 2, 3mp2b 8 . 2  |-  ( R. 
X.  { 0R }
)  C_  ( R.  X.  R. )
5 df-r 7123 . 2  |-  RR  =  ( R.  X.  { 0R } )
6 df-c 7119 . 2  |-  CC  =  ( R.  X.  R. )
74, 5, 63sstr4i 3047 1  |-  RR  C_  CC
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1434    C_ wss 2982   {csn 3416    X. cxp 4389   R.cnr 6619   0Rc0r 6620   CCcc 7111   RRcr 7112
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-eprel 4072  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-1st 5819  df-2nd 5820  df-recs 5975  df-irdg 6040  df-1o 6086  df-oadd 6090  df-omul 6091  df-er 6194  df-ec 6196  df-qs 6200  df-ni 6626  df-pli 6627  df-mi 6628  df-lti 6629  df-plpq 6666  df-mpq 6667  df-enq 6669  df-nqqs 6670  df-plqqs 6671  df-mqqs 6672  df-1nqqs 6673  df-rq 6674  df-ltnqqs 6675  df-inp 6788  df-i1p 6789  df-enr 7035  df-nr 7036  df-0r 7040  df-c 7119  df-r 7123
This theorem is referenced by:  ax1cn  7161  rereceu  7187  recriota  7188  peano5nnnn  7190
  Copyright terms: Public domain W3C validator