ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bcn0 Unicode version

Theorem bcn0 9768
Description:  N choose 0 is 1. Remark in [Gleason] p. 296. (Contributed by NM, 17-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bcn0  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  0 )  =  1 )

Proof of Theorem bcn0
StepHypRef Expression
1 0elfz 9198 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  e.  ( 0 ... N
) )
2 bcval2 9763 . . 3  |-  ( 0  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  0 )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  0 ) )  x.  ( ! `
 0 ) ) ) )
31, 2syl 14 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  0 )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  0 ) )  x.  ( ! `
 0 ) ) ) )
4 nn0cn 8354 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
54subid1d 7464 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  -  0 )  =  N )
65fveq2d 5207 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  - 
0 ) )  =  ( ! `  N
) )
7 fac0 9741 . . . . . 6  |-  ( ! `
 0 )  =  1
8 oveq12 5546 . . . . . 6  |-  ( ( ( ! `  ( N  -  0 ) )  =  ( ! `
 N )  /\  ( ! `  0 )  =  1 )  -> 
( ( ! `  ( N  -  0
) )  x.  ( ! `  0 )
)  =  ( ( ! `  N )  x.  1 ) )
96, 7, 8sylancl 404 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( N  -  0 ) )  x.  ( ! ` 
0 ) )  =  ( ( ! `  N )  x.  1 ) )
10 faccl 9748 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
1110nncnd 8109 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  CC )
1211mulid1d 7187 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  1 )  =  ( ! `  N
) )
139, 12eqtrd 2114 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( N  -  0 ) )  x.  ( ! ` 
0 ) )  =  ( ! `  N
) )
1413oveq2d 5553 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  /  ( ( ! `
 ( N  - 
0 ) )  x.  ( ! `  0
) ) )  =  ( ( ! `  N )  /  ( ! `  N )
) )
1510nnap0d 8140 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N ) #  0 )
1611, 15dividapd 7930 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  /  ( ! `  N ) )  =  1 )
1714, 16eqtrd 2114 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  /  ( ( ! `
 ( N  - 
0 ) )  x.  ( ! `  0
) ) )  =  1 )
183, 17eqtrd 2114 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  0 )  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1285    e. wcel 1434   ` cfv 4926  (class class class)co 5537   0cc0 7032   1c1 7033    x. cmul 7037    - cmin 7335    / cdiv 7816   NN0cn0 8344   ...cfz 9094   !cfa 9738    _C cbc 9760
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3895  ax-sep 3898  ax-nul 3906  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-iinf 4331  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-1re 7121  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-mulrcl 7126  ax-addcom 7127  ax-mulcom 7128  ax-addass 7129  ax-mulass 7130  ax-distr 7131  ax-i2m1 7132  ax-0lt1 7133  ax-1rid 7134  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-precex 7137  ax-cnre 7138  ax-pre-ltirr 7139  ax-pre-ltwlin 7140  ax-pre-lttrn 7141  ax-pre-apti 7142  ax-pre-ltadd 7143  ax-pre-mulgt0 7144  ax-pre-mulext 7145
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3253  df-if 3354  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-tr 3878  df-id 4050  df-po 4053  df-iso 4054  df-iord 4123  df-on 4125  df-ilim 4126  df-suc 4128  df-iom 4334  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-f1 4931  df-fo 4932  df-f1o 4933  df-fv 4934  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-frec 6034  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-xr 7208  df-ltxr 7209  df-le 7210  df-sub 7337  df-neg 7338  df-reap 7731  df-ap 7738  df-div 7817  df-inn 8096  df-n0 8345  df-z 8422  df-uz 8690  df-q 8775  df-fz 9095  df-iseq 9511  df-fac 9739  df-bc 9761
This theorem is referenced by:  bcnn  9770  bcpasc  9779  bccl  9780
  Copyright terms: Public domain W3C validator