Theorem bcval4 10498

Description: Value of the binomial coefficient, N choose K, outside of its standard domain. Remark in [Gleason] p. 295. (Contributed by NM, 14-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
bcval4	|- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ /\ ( K < 0 \/ N < K ) ) -> ( N _C K ) = 0 )

Proof of Theorem bcval4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzle1 9807	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> 0 <_ K )
2		0re 7766	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
3		elfzelz 9806	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. ZZ )
4	3	zred 9173	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. RR )
5		lenlt 7840	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ K e. RR ) -> ( 0 <_ K <-> -. K < 0 ) )
6	2, 4, 5	sylancr 410	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( 0 <_ K <-> -. K < 0 ) )
7	1, 6	mpbid 146	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> -. K < 0 )
8	7	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> -. K < 0 )
9		elfzle2 9808	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K <_ N )
10	9	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> K <_ N )
11		nn0re 8986	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
12		lenlt 7840	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. RR /\ N e. RR ) -> ( K <_ N <-> -. N < K ) )
13	4, 11, 12	syl2anr 288	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( K <_ N <-> -. N < K ) )
14	10, 13	mpbid 146	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> -. N < K )
15		ioran 741	. . . . . . 7 |- ( -. ( K < 0 \/ N < K ) <-> ( -. K < 0 /\ -. N < K ) )
16	8, 14, 15	sylanbrc 413	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> -. ( K < 0 \/ N < K ) )
17	16	ex 114	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( K e. ( 0 ... N ) -> -. ( K < 0 \/ N < K ) ) )
18	17	adantr 274	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( K e. ( 0 ... N ) -> -. ( K < 0 \/ N < K ) ) )
19	18	con2d 613	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( K < 0 \/ N < K ) -> -. K e. ( 0 ... N ) ) )
20	19	3impia 1178	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ /\ ( K < 0 \/ N < K ) ) -> -. K e. ( 0 ... N ) )
21		bcval3 10497	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C K ) = 0 )
22	20, 21	syld3an3 1261	1 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ /\ ( K < 0 \/ N < K ) ) -> ( N _C K ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   RRcr 7619   0cc0 7620   < clt 7800   <_ cle 7801   NN0cn0 8977   ZZcz 9054   ...cfz 9790   _C cbc 10493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-fz 9791  df-seqfrec 10219  df-fac 10472  df-bc 10494

This theorem is referenced by:  bc0k  10502  bcn1  10504  bcpasc  10512