Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bdop Unicode version

Theorem bdop 10382
Description: The ordered pair of two setvars is a bounded class. (Contributed by BJ, 21-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
bdop  |- BOUNDED 
<. x ,  y >.

Proof of Theorem bdop
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bdvsn 10381 . . . 4  |- BOUNDED  z  =  {
x }
2 bdcpr 10378 . . . . . . 7  |- BOUNDED  { x ,  y }
32bdss 10371 . . . . . 6  |- BOUNDED  z  C_  { x ,  y }
4 ax-bdel 10328 . . . . . . . 8  |- BOUNDED  x  e.  z
5 ax-bdel 10328 . . . . . . . 8  |- BOUNDED  y  e.  z
64, 5ax-bdan 10322 . . . . . . 7  |- BOUNDED  ( x  e.  z  /\  y  e.  z )
7 vex 2577 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
87prid1 3504 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
{ x ,  y }
9 ssel 2967 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x ,  y } 
C_  z  ->  (
x  e.  { x ,  y }  ->  x  e.  z ) )
108, 9mpi 15 . . . . . . . . 9  |-  ( { x ,  y } 
C_  z  ->  x  e.  z )
11 vex 2577 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
1211prid2 3505 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
{ x ,  y }
13 ssel 2967 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x ,  y } 
C_  z  ->  (
y  e.  { x ,  y }  ->  y  e.  z ) )
1412, 13mpi 15 . . . . . . . . 9  |-  ( { x ,  y } 
C_  z  ->  y  e.  z )
1510, 14jca 294 . . . . . . . 8  |-  ( { x ,  y } 
C_  z  ->  (
x  e.  z  /\  y  e.  z )
)
16 prssi 3550 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  z  /\  y  e.  z )  ->  { x ,  y }  C_  z )
1715, 16impbii 121 . . . . . . 7  |-  ( { x ,  y } 
C_  z  <->  ( x  e.  z  /\  y  e.  z ) )
186, 17bd0r 10332 . . . . . 6  |- BOUNDED  { x ,  y }  C_  z
193, 18ax-bdan 10322 . . . . 5  |- BOUNDED  ( z  C_  { x ,  y }  /\  { x ,  y } 
C_  z )
20 eqss 2988 . . . . 5  |-  ( z  =  { x ,  y }  <->  ( z  C_ 
{ x ,  y }  /\  { x ,  y }  C_  z ) )
2119, 20bd0r 10332 . . . 4  |- BOUNDED  z  =  {
x ,  y }
221, 21ax-bdor 10323 . . 3  |- BOUNDED  ( z  =  {
x }  \/  z  =  { x ,  y } )
23 vex 2577 . . . 4  |-  z  e. 
_V
2423, 7, 11elop 3996 . . 3  |-  ( z  e.  <. x ,  y
>. 
<->  ( z  =  {
x }  \/  z  =  { x ,  y } ) )
2522, 24bd0r 10332 . 2  |- BOUNDED  z  e.  <. x ,  y >.
2625bdelir 10354 1  |- BOUNDED 
<. x ,  y >.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 101    \/ wo 639    = wceq 1259    e. wcel 1409    C_ wss 2945   {csn 3403   {cpr 3404   <.cop 3406  BOUNDED wbdc 10347
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-bd0 10320  ax-bdan 10322  ax-bdor 10323  ax-bdal 10325  ax-bdeq 10327  ax-bdel 10328  ax-bdsb 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-v 2576  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-bdc 10348
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator