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Theorem bernneq 9690
Description: Bernoulli's inequality, due to Johan Bernoulli (1667-1748). (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
bernneq  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  N ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^ N ) )

Proof of Theorem bernneq
Dummy variables  j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5551 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  0  ->  ( A  x.  j )  =  ( A  x.  0 ) )
21oveq2d 5559 . . . . . . 7  |-  ( j  =  0  ->  (
1  +  ( A  x.  j ) )  =  ( 1  +  ( A  x.  0 ) ) )
3 oveq2 5551 . . . . . . 7  |-  ( j  =  0  ->  (
( 1  +  A
) ^ j )  =  ( ( 1  +  A ) ^
0 ) )
42, 3breq12d 3806 . . . . . 6  |-  ( j  =  0  ->  (
( 1  +  ( A  x.  j ) )  <_  ( (
1  +  A ) ^ j )  <->  ( 1  +  ( A  x.  0 ) )  <_ 
( ( 1  +  A ) ^ 0 ) ) )
54imbi2d 228 . . . . 5  |-  ( j  =  0  ->  (
( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  j ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
j ) )  <->  ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  0 ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
0 ) ) ) )
6 oveq2 5551 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  ( A  x.  j )  =  ( A  x.  k ) )
76oveq2d 5559 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (
1  +  ( A  x.  j ) )  =  ( 1  +  ( A  x.  k
) ) )
8 oveq2 5551 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (
( 1  +  A
) ^ j )  =  ( ( 1  +  A ) ^
k ) )
97, 8breq12d 3806 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
( 1  +  ( A  x.  j ) )  <_  ( (
1  +  A ) ^ j )  <->  ( 1  +  ( A  x.  k ) )  <_ 
( ( 1  +  A ) ^ k
) ) )
109imbi2d 228 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  j ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
j ) )  <->  ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  k ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
k ) ) ) )
11 oveq2 5551 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( A  x.  j )  =  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )
1211oveq2d 5559 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
1  +  ( A  x.  j ) )  =  ( 1  +  ( A  x.  (
k  +  1 ) ) ) )
13 oveq2 5551 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( 1  +  A
) ^ j )  =  ( ( 1  +  A ) ^
( k  +  1 ) ) )
1412, 13breq12d 3806 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( 1  +  ( A  x.  j ) )  <_  ( (
1  +  A ) ^ j )  <->  ( 1  +  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( ( 1  +  A ) ^ (
k  +  1 ) ) ) )
1514imbi2d 228 . . . . 5  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  j ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
j ) )  <->  ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
( k  +  1 ) ) ) ) )
16 oveq2 5551 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  N  ->  ( A  x.  j )  =  ( A  x.  N ) )
1716oveq2d 5559 . . . . . . 7  |-  ( j  =  N  ->  (
1  +  ( A  x.  j ) )  =  ( 1  +  ( A  x.  N
) ) )
18 oveq2 5551 . . . . . . 7  |-  ( j  =  N  ->  (
( 1  +  A
) ^ j )  =  ( ( 1  +  A ) ^ N ) )
1917, 18breq12d 3806 . . . . . 6  |-  ( j  =  N  ->  (
( 1  +  ( A  x.  j ) )  <_  ( (
1  +  A ) ^ j )  <->  ( 1  +  ( A  x.  N ) )  <_ 
( ( 1  +  A ) ^ N
) ) )
2019imbi2d 228 . . . . 5  |-  ( j  =  N  ->  (
( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  j ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
j ) )  <->  ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  N ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^ N ) ) ) )
21 recn 7168 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
22 mul01 7560 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  0 )  =  0 )
2322oveq2d 5559 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  +  ( A  x.  0 ) )  =  ( 1  +  0 ) )
24 1p0e1 8221 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  +  0 )  =  1
2523, 24syl6eq 2130 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  +  ( A  x.  0 ) )  =  1 )
26 1le1 7739 . . . . . . . . 9  |-  1  <_  1
27 ax-1cn 7131 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
28 addcl 7160 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  +  A
)  e.  CC )
2927, 28mpan 415 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  +  A )  e.  CC )
30 exp0 9577 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  +  A )  e.  CC  ->  (
( 1  +  A
) ^ 0 )  =  1 )
3129, 30syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  +  A
) ^ 0 )  =  1 )
3226, 31syl5breqr 3829 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  1  <_  ( ( 1  +  A ) ^ 0 ) )
3325, 32eqbrtrd 3813 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  +  ( A  x.  0 ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
0 ) )
3421, 33syl 14 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  +  ( A  x.  0 ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
0 ) )
3534adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  ( 1  +  ( A  x.  0 ) )  <_  ( (
1  +  A ) ^ 0 ) )
36 1re 7180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
37 nn0re 8364 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
38 remulcl 7163 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( A  x.  k
)  e.  RR )
3937, 38sylan2 280 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A  x.  k
)  e.  RR )
40 readdcl 7161 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( A  x.  k
)  e.  RR )  ->  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  e.  RR )
4136, 39, 40sylancr 405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( A  x.  k ) )  e.  RR )
42 simpl 107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  e.  RR )
43 readdcl 7161 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  +  A
)  e.  RR )
4441, 42, 43syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  +  A
)  e.  RR )
4544adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A )  e.  RR )
46 readdcl 7161 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 1  +  A
)  e.  RR )
4736, 46mpan 415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  +  A )  e.  RR )
4847adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  A
)  e.  RR )
4941, 48remulcld 7211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  x.  (
1  +  A ) )  e.  RR )
5049adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
( 1  +  ( A  x.  k ) )  x.  ( 1  +  A ) )  e.  RR )
51 reexpcl 9590 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  +  A
)  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  A ) ^ k
)  e.  RR )
5247, 51sylan 277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  A ) ^ k
)  e.  RR )
5352, 48remulcld 7211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( 1  +  A ) ^
k )  x.  (
1  +  A ) )  e.  RR )
5453adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
( ( 1  +  A ) ^ k
)  x.  ( 1  +  A ) )  e.  RR )
55 remulcl 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( A  x.  A
)  e.  RR )
5655anidms 389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  x.  A )  e.  RR )
57 msqge0 7783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( A  x.  A
) )
5856, 57jca 300 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  x.  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( A  x.  A ) ) )
59 nn0ge0 8380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN0  ->  0  <_ 
k )
6037, 59jca 300 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  e.  RR  /\  0  <_  k ) )
61 mulge0 7786 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  x.  A )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  x.  A ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  0  <_  k )
)  ->  0  <_  ( ( A  x.  A
)  x.  k ) )
6258, 60, 61syl2an 283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( ( A  x.  A )  x.  k ) )
6321adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
64 nn0cn 8365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
6564adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  e.  CC )
6663, 63, 65mul32d 7328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( A  x.  A )  x.  k
)  =  ( ( A  x.  k )  x.  A ) )
6762, 66breqtrd 3817 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( ( A  x.  k )  x.  A ) )
68 simpl 107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
6938, 68remulcld 7211 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( ( A  x.  k )  x.  A
)  e.  RR )
7037, 69sylan2 280 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( A  x.  k )  x.  A
)  e.  RR )
7144, 70addge01d 7700 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 0  <_  (
( A  x.  k
)  x.  A )  <-> 
( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  +  A
)  <_  ( (
( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A )  +  ( ( A  x.  k )  x.  A ) ) ) )
7267, 71mpbid 145 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  +  A
)  <_  ( (
( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A )  +  ( ( A  x.  k )  x.  A ) ) )
73 mulcl 7162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( A  x.  k
)  e.  CC )
74 addcl 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A  x.  k
)  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  e.  CC )
7527, 73, 74sylancr 405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( A  x.  k ) )  e.  CC )
76 simpl 107 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
7773, 76mulcld 7201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  k )  x.  A
)  e.  CC )
7875, 76, 77addassd 7203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A )  +  ( ( A  x.  k
)  x.  A ) )  =  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  ( A  +  ( ( A  x.  k )  x.  A
) ) ) )
79 muladd11 7308 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  x.  k
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  x.  (
1  +  A ) )  =  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  ( A  +  ( ( A  x.  k )  x.  A
) ) ) )
8073, 76, 79syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  x.  (
1  +  A ) )  =  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  ( A  +  ( ( A  x.  k )  x.  A
) ) ) )
8178, 80eqtr4d 2117 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A )  +  ( ( A  x.  k
)  x.  A ) )  =  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  x.  ( 1  +  A ) ) )
8221, 64, 81syl2an 283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A )  +  ( ( A  x.  k
)  x.  A ) )  =  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  x.  ( 1  +  A ) ) )
8372, 82breqtrd 3817 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  +  A
)  <_  ( (
1  +  ( A  x.  k ) )  x.  ( 1  +  A ) ) )
8483adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A )  <_  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  x.  ( 1  +  A
) ) )
8541adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
1  +  ( A  x.  k ) )  e.  RR )
8652adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
( 1  +  A
) ^ k )  e.  RR )
8748adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
1  +  A )  e.  RR )
88 neg1rr 8212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u 1  e.  RR
89 leadd2 7602 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( -u 1  <_  A 
<->  ( 1  +  -u
1 )  <_  (
1  +  A ) ) )
9088, 36, 89mp3an13 1260 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  A  <->  ( 1  +  -u 1 )  <_ 
( 1  +  A
) ) )
91 1pneg1e0 8217 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  0
9291breq1i 3800 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  +  -u 1
)  <_  ( 1  +  A )  <->  0  <_  ( 1  +  A ) )
9390, 92syl6bb 194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  A  <->  0  <_  ( 1  +  A ) ) )
9493biimpa 290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  0  <_  ( 1  +  A ) )
9594ad2ant2r 493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  0  <_  ( 1  +  A
) )
96 simprr 499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
1  +  ( A  x.  k ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
k ) )
9785, 86, 87, 95, 96lemul1ad 8084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
( 1  +  ( A  x.  k ) )  x.  ( 1  +  A ) )  <_  ( ( ( 1  +  A ) ^ k )  x.  ( 1  +  A
) ) )
9845, 50, 54, 84, 97letrd 7300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A )  <_  ( ( ( 1  +  A ) ^ k )  x.  ( 1  +  A
) ) )
99 adddi 7167 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( k  +  1 ) )  =  ( ( A  x.  k )  +  ( A  x.  1 ) ) )
10027, 99mp3an3 1258 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( A  x.  (
k  +  1 ) )  =  ( ( A  x.  k )  +  ( A  x.  1 ) ) )
101 mulid1 7178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
102101adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
103102oveq2d 5559 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  k )  +  ( A  x.  1 ) )  =  ( ( A  x.  k )  +  A ) )
104100, 103eqtrd 2114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( A  x.  (
k  +  1 ) )  =  ( ( A  x.  k )  +  A ) )
105104oveq2d 5559 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )  =  ( 1  +  ( ( A  x.  k )  +  A ) ) )
106 addass 7165 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A  x.  k
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  +  A
)  =  ( 1  +  ( ( A  x.  k )  +  A ) ) )
10727, 106mp3an1 1256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  x.  k
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  +  A
)  =  ( 1  +  ( ( A  x.  k )  +  A ) ) )
10873, 76, 107syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  +  A
)  =  ( 1  +  ( ( A  x.  k )  +  A ) ) )
109105, 108eqtr4d 2117 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A ) )
11021, 64, 109syl2an 283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A ) )
111110adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
1  +  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A ) )
11227, 21, 28sylancr 405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  +  A )  e.  CC )
113 expp1 9580 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  +  A
)  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  A ) ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  +  A
) ^ k )  x.  ( 1  +  A ) ) )
114112, 113sylan 277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  A ) ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  +  A
) ^ k )  x.  ( 1  +  A ) ) )
115114adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
( 1  +  A
) ^ ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  +  A ) ^ k )  x.  ( 1  +  A
) ) )
11698, 111, 1153brtr4d 3823 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
1  +  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
( k  +  1 ) ) )
117116exp43 364 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
k  e.  NN0  ->  (
-u 1  <_  A  ->  ( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k )  ->  ( 1  +  ( A  x.  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
118117com12 30 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  A  ->  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  <_  ( (
1  +  A ) ^ k )  -> 
( 1  +  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( (
1  +  A ) ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
119118impd 251 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  ( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k )  ->  ( 1  +  ( A  x.  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
120119a2d 26 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) )  ->  ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
( k  +  1 ) ) ) ) )
1215, 10, 15, 20, 35, 120nn0ind 8542 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  ( 1  +  ( A  x.  N ) )  <_  ( (
1  +  A ) ^ N ) ) )
122121expd 254 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  A  ->  ( 1  +  ( A  x.  N ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^ N ) ) ) )
123122com12 30 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( -u 1  <_  A  ->  ( 1  +  ( A  x.  N ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^ N ) ) ) )
1241233imp 1133 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  N ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434   class class class wbr 3793  (class class class)co 5543   CCcc 7041   RRcr 7042   0cc0 7043   1c1 7044    + caddc 7046    x. cmul 7048    <_ cle 7216   -ucneg 7347   NN0cn0 8355   ^cexp 9572
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155  ax-pre-mulext 7156
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-if 3360  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-iord 4129  df-on 4131  df-ilim 4132  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-frec 6040  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742  df-ap 7749  df-div 7828  df-inn 8107  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-iseq 9522  df-iexp 9573
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