Theorem bezoutlemaz 11680

Description: Lemma for Bézout's identity. Like bezoutlemzz 11679 but where ' A ' can be any integer, not just a nonnegative one. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemaz	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, d, x, y   B, d, x, y   z, A, d   z, B

Proof of Theorem bezoutlemaz

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemzz 11679	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
2	1	ancoms 266	. . 3 |- ( ( B e. NN0 /\ A e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
3	2	adantll 467	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ A e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
4		bezoutlemzz 11679	. . . . 5 |- ( ( -u A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || -u A /\ z || B ) ) /\ E. t e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( -u A x. t ) + ( B x. y ) ) ) )
5	4	ancoms 266	. . . 4 |- ( ( B e. NN0 /\ -u A e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || -u A /\ z || B ) ) /\ E. t e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( -u A x. t ) + ( B x. y ) ) ) )
6	5	adantll 467	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || -u A /\ z || B ) ) /\ E. t e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( -u A x. t ) + ( B x. y ) ) ) )
7		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> z e. ZZ )
8		simpll 518	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) -> A e. ZZ )
9	8	ad2antrr 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> A e. ZZ )
10		dvdsnegb 11499	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( z || A <-> z || -u A ) )
11	7, 9, 10	syl2anc 408	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( z || A <-> z || -u A ) )
12	11	biimprd 157	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( z || -u A -> z || A ) )
13	12	anim1d 334	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( ( z || -u A /\ z || B ) -> ( z || A /\ z || B ) ) )
14	13	imim2d 54	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( ( z || d -> ( z || -u A /\ z || B ) ) -> ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
15	14	ralimdva 2497	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) -> ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || -u A /\ z || B ) ) -> A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
16	8	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> A e. ZZ )
17	16	zcnd 9167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> A e. CC )
18		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> t e. ZZ )
19	18	zcnd 9167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> t e. CC )
20		mulneg12 8152	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ t e. CC ) -> ( -u A x. t ) = ( A x. -u t ) )
21	17, 19, 20	syl2anc 408	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( -u A x. t ) = ( A x. -u t ) )
22	21	oveq1d 5782	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( ( -u A x. t ) + ( B x. y ) ) = ( ( A x. -u t ) + ( B x. y ) ) )
23	22	eqeq2d 2149	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( d = ( ( -u A x. t ) + ( B x. y ) ) <-> d = ( ( A x. -u t ) + ( B x. y ) ) ) )
24	23	rexbidv 2436	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( E. y e. ZZ d = ( ( -u A x. t ) + ( B x. y ) ) <-> E. y e. ZZ d = ( ( A x. -u t ) + ( B x. y ) ) ) )
25		znegcl 9078	. . . . . . . . . 10 |- ( t e. ZZ -> -u t e. ZZ )
26		oveq2 5775	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = -u t -> ( A x. x ) = ( A x. -u t ) )
27	26	oveq1d 5782	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = -u t -> ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) = ( ( A x. -u t ) + ( B x. y ) ) )
28	27	eqeq2d 2149	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = -u t -> ( d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) <-> d = ( ( A x. -u t ) + ( B x. y ) ) ) )
29	28	rexbidv 2436	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = -u t -> ( E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) <-> E. y e. ZZ d = ( ( A x. -u t ) + ( B x. y ) ) ) )
30	29	rspcev 2784	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u t e. ZZ /\ E. y e. ZZ d = ( ( A x. -u t ) + ( B x. y ) ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) )
31	25, 30	sylan 281	. . . . . . . . 9 |- ( ( t e. ZZ /\ E. y e. ZZ d = ( ( A x. -u t ) + ( B x. y ) ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) )
32	31	ex 114	. . . . . . . 8 |- ( t e. ZZ -> ( E. y e. ZZ d = ( ( A x. -u t ) + ( B x. y ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
33	32	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( E. y e. ZZ d = ( ( A x. -u t ) + ( B x. y ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
34	24, 33	sylbid 149	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( E. y e. ZZ d = ( ( -u A x. t ) + ( B x. y ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
35	34	rexlimdva 2547	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) -> ( E. t e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( -u A x. t ) + ( B x. y ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
36	15, 35	anim12d 333	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) -> ( ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || -u A /\ z || B ) ) /\ E. t e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( -u A x. t ) + ( B x. y ) ) ) -> ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
37	36	reximdva 2532	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) -> ( E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || -u A /\ z || B ) ) /\ E. t e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( -u A x. t ) + ( B x. y ) ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
38	6, 37	mpd 13	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
39		elznn0 9062	. . . 4 |- ( A e. ZZ <-> ( A e. RR /\ ( A e. NN0 \/ -u A e. NN0 ) ) )
40	39	simprbi 273	. . 3 |- ( A e. ZZ -> ( A e. NN0 \/ -u A e. NN0 ) )
41	40	adantr 274	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) -> ( A e. NN0 \/ -u A e. NN0 ) )
42	3, 38, 41	mpjaodan 787	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2414   E.wrex 2415   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   CCcc 7611   RRcr 7612   + caddc 7616   x. cmul 7618   -ucneg 7927   NN0cn0 8970   ZZcz 9047   || cdvds 11482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-fz 9784  df-fl 10036  df-mod 10089  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-dvds 11483

This theorem is referenced by:  bezoutlembz  11681