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Theorem bezoutlemaz 10599
Description: Lemma for Bézout's identity. Like bezoutlemzz 10598 but where ' A ' can be any integer, not just a nonnegative one. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
bezoutlemaz  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, d, x, y    B, d, x, y   
z, A, d    z, B

Proof of Theorem bezoutlemaz
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bezoutlemzz 10598 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
21ancoms 264 . . 3  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  A  e.  NN0 )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
32adantll 460 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  /\  A  e.  NN0 )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
4 bezoutlemzz 10598 . . . . 5  |-  ( (
-u A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  -u A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. t  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( -u A  x.  t )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
54ancoms 264 . . . 4  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  -u A  e.  NN0 )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  -u A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. t  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( -u A  x.  t )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
65adantll 460 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  /\  -u A  e.  NN0 )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  -u A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. t  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( -u A  x.  t )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
7 simpr 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  /\  -u A  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  ->  z  e.  ZZ )
8 simpll 496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  /\  -u A  e.  NN0 )  ->  A  e.  ZZ )
98ad2antrr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  /\  -u A  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
10 dvdsnegb 10420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( z  ||  A  <->  z 
||  -u A ) )
117, 9, 10syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  /\  -u A  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
z  ||  A  <->  z  ||  -u A ) )
1211biimprd 156 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  /\  -u A  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
z  ||  -u A  -> 
z  ||  A )
)
1312anim1d 329 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  /\  -u A  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
( z  ||  -u A  /\  z  ||  B )  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) ) )
1413imim2d 53 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  /\  -u A  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
( z  ||  d  ->  ( z  ||  -u A  /\  z  ||  B ) )  ->  ( z  ||  d  ->  ( z 
||  A  /\  z  ||  B ) ) ) )
1514ralimdva 2434 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e. 
NN0 )  /\  -u A  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  ->  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  -u A  /\  z  ||  B ) )  ->  A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) ) ) )
168ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  /\  -u A  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  t  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
1716zcnd 8603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  /\  -u A  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  t  e.  ZZ )  ->  A  e.  CC )
18 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  /\  -u A  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  t  e.  ZZ )  ->  t  e.  ZZ )
1918zcnd 8603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  /\  -u A  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  t  e.  ZZ )  ->  t  e.  CC )
20 mulneg12 7620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  t  e.  CC )  ->  ( -u A  x.  t )  =  ( A  x.  -u t
) )
2117, 19, 20syl2anc 403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  /\  -u A  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  t  e.  ZZ )  ->  ( -u A  x.  t )  =  ( A  x.  -u t ) )
2221oveq1d 5578 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  /\  -u A  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  t  e.  ZZ )  ->  (
( -u A  x.  t
)  +  ( B  x.  y ) )  =  ( ( A  x.  -u t )  +  ( B  x.  y
) ) )
2322eqeq2d 2094 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  /\  -u A  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  t  e.  ZZ )  ->  (
d  =  ( (
-u A  x.  t
)  +  ( B  x.  y ) )  <-> 
d  =  ( ( A  x.  -u t
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
2423rexbidv 2374 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  /\  -u A  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  t  e.  ZZ )  ->  ( E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( -u A  x.  t )  +  ( B  x.  y ) )  <->  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  -u t
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
25 znegcl 8515 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  ZZ  ->  -u t  e.  ZZ )
26 oveq2 5571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  -u t  ->  ( A  x.  x )  =  ( A  x.  -u t ) )
2726oveq1d 5578 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  -u t  ->  (
( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  =  ( ( A  x.  -u t )  +  ( B  x.  y
) ) )
2827eqeq2d 2094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  -u t  ->  (
d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) )  <->  d  =  ( ( A  x.  -u t )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
2928rexbidv 2374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  -u t  ->  ( E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) )  <->  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  -u t
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
3029rspcev 2710 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u t  e.  ZZ  /\ 
E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  -u t )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) )
3125, 30sylan 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  ZZ  /\  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  -u t )  +  ( B  x.  y
) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) )
3231ex 113 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  ZZ  ->  ( E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  -u t )  +  ( B  x.  y ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) ) )
3332adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  /\  -u A  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  t  e.  ZZ )  ->  ( E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  -u t )  +  ( B  x.  y ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) ) )
3424, 33sylbid 148 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  /\  -u A  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  t  e.  ZZ )  ->  ( E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( -u A  x.  t )  +  ( B  x.  y ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) ) )
3534rexlimdva 2482 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e. 
NN0 )  /\  -u A  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  ->  ( E. t  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( -u A  x.  t )  +  ( B  x.  y ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) ) )
3615, 35anim12d 328 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e. 
NN0 )  /\  -u A  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  ->  (
( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  -u A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. t  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( -u A  x.  t )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) ) )
3736reximdva 2468 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  /\  -u A  e.  NN0 )  ->  ( E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  -u A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. t  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( -u A  x.  t )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) ) )
386, 37mpd 13 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  /\  -u A  e.  NN0 )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
39 elznn0 8499 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  <->  ( A  e.  RR  /\  ( A  e.  NN0  \/  -u A  e.  NN0 ) ) )
4039simprbi 269 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  e.  NN0  \/  -u A  e.  NN0 ) )
4140adantr 270 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A  e.  NN0  \/  -u A  e.  NN0 ) )
423, 38, 41mpjaodan 745 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2353   E.wrex 2354   class class class wbr 3805  (class class class)co 5563   CCcc 7093   RRcr 7094    + caddc 7098    x. cmul 7100   -ucneg 7399   NN0cn0 8407   ZZcz 8484    || cdvds 10403
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208  ax-arch 7209
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-frec 6060  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-2 8217  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-q 8838  df-rp 8868  df-fz 9158  df-fl 9404  df-mod 9457  df-iseq 9574  df-iexp 9625  df-cj 9930  df-re 9931  df-im 9932  df-rsqrt 10085  df-abs 10086  df-dvds 10404
This theorem is referenced by:  bezoutlembz  10600
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