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Theorem bezoutlembi 10601
Description: Lemma for Bézout's identity. Like bezoutlembz 10600 but the greatest common divisor condition is a biconditional, not just an implication. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
bezoutlembi  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, d, x, y, z    B, d, x, y, z

Proof of Theorem bezoutlembi
StepHypRef Expression
1 bezoutlembz 10600 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
2 simpllr 501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  z  e.  ZZ )
3 simpll 496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  ->  A  e.  ZZ )
43ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  A  e.  ZZ )
5 simplrl 502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  x  e.  ZZ )
6 dvdsmultr1 10441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
z  ||  A  ->  z 
||  ( A  x.  x ) ) )
72, 4, 5, 6syl3anc 1170 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  ( z  ||  A  ->  z  ||  ( A  x.  x )
) )
8 simplr 497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  ->  B  e.  ZZ )
98ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  B  e.  ZZ )
10 simplrr 503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  y  e.  ZZ )
11 dvdsmultr1 10441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  (
z  ||  B  ->  z 
||  ( B  x.  y ) ) )
122, 9, 10, 11syl3anc 1170 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  ( z  ||  B  ->  z  ||  ( B  x.  y )
) )
134, 5zmulcld 8608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  ( A  x.  x )  e.  ZZ )
149, 10zmulcld 8608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  ( B  x.  y )  e.  ZZ )
15 dvds2add 10437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  ( A  x.  x
)  e.  ZZ  /\  ( B  x.  y
)  e.  ZZ )  ->  ( ( z 
||  ( A  x.  x )  /\  z  ||  ( B  x.  y
) )  ->  z  ||  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
162, 13, 14, 15syl3anc 1170 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  ( ( z 
||  ( A  x.  x )  /\  z  ||  ( B  x.  y
) )  ->  z  ||  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
177, 12, 16syl2and 289 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  ( ( z 
||  A  /\  z  ||  B )  ->  z  ||  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
18 simpr 108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )
1918breq2d 3817 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  ( z  ||  d 
<->  z  ||  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
2017, 19sylibrd 167 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  ( ( z 
||  A  /\  z  ||  B )  ->  z  ||  d ) )
21 bi3 117 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  ||  d  -> 
( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  ->  ( (
( z  ||  A  /\  z  ||  B )  ->  z  ||  d
)  ->  ( z  ||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) ) ) )
2220, 21syl5com 29 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  ( ( z 
||  d  ->  (
z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  ->  ( z  ||  d 
<->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) ) ) )
2322ex 113 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  ->  (
( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  ->  ( z  ||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) ) ) ) )
2423rexlimdvva 2489 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  ->  (
( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  ->  ( z  ||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) ) ) ) )
25 imdistan 433 . . . . . . 7  |-  ( ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  ->  (
( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  ->  ( z  ||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) ) ) )  <-> 
( ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  /\  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) ) )  -> 
( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  /\  ( z  ||  d 
<->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) ) ) ) )
26 ancom 262 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )  <->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  /\  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) ) ) )
27 ancom 262 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  ||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )  <->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  /\  ( z  ||  d 
<->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) ) ) )
2826, 27imbi12i 237 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  ( (
z  ||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) ) )  <-> 
( ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  /\  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) ) )  -> 
( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  /\  ( z  ||  d 
<->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) ) ) ) )
2925, 28bitr4i 185 . . . . . 6  |-  ( ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  ->  (
( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  ->  ( z  ||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) ) ) )  <-> 
( ( ( z 
||  d  ->  (
z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  ( (
z  ||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) ) ) )
3024, 29sylib 120 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
( ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  ( (
z  ||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) ) ) )
3130ralimdva 2434 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  ->  ( A. z  e.  ZZ  ( ( z 
||  d  ->  (
z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  A. z  e.  ZZ  ( ( z 
||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) ) ) )
32 0z 8495 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
33 elex2 2624 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  E. z 
z  e.  ZZ )
3432, 33ax-mp 7 . . . . 5  |-  E. z 
z  e.  ZZ
35 r19.27mv 3354 . . . . 5  |-  ( E. z  z  e.  ZZ  ->  ( A. z  e.  ZZ  ( ( z 
||  d  ->  (
z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )  <->  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) ) )
3634, 35ax-mp 7 . . . 4  |-  ( A. z  e.  ZZ  (
( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )  <->  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
37 r19.27mv 3354 . . . . 5  |-  ( E. z  z  e.  ZZ  ->  ( A. z  e.  ZZ  ( ( z 
||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) )  <->  ( A. z  e.  ZZ  (
z  ||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) ) ) )
3834, 37ax-mp 7 . . . 4  |-  ( A. z  e.  ZZ  (
( z  ||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )  <->  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d 
<->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
3931, 36, 383imtr3g 202 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  ->  ( ( A. z  e.  ZZ  (
z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  ( A. z  e.  ZZ  (
z  ||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) ) ) )
4039reximdva 2468 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( E. d  e. 
NN0  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d 
<->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) ) )
411, 40mpd 13 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285   E.wex 1422    e. wcel 1434   A.wral 2353   E.wrex 2354   class class class wbr 3805  (class class class)co 5563   0cc0 7095    + caddc 7098    x. cmul 7100   NN0cn0 8407   ZZcz 8484    || cdvds 10403
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208  ax-arch 7209
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-frec 6060  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-2 8217  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-q 8838  df-rp 8868  df-fz 9158  df-fl 9404  df-mod 9457  df-iseq 9574  df-iexp 9625  df-cj 9930  df-re 9931  df-im 9932  df-rsqrt 10085  df-abs 10086  df-dvds 10404
This theorem is referenced by:  bezoutlemeu  10603  dfgcd3  10606  bezout  10607
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