Theorem bezoutlembi 11693

Description: Lemma for Bézout's identity. Like bezoutlembz 11692 but the greatest common divisor condition is a biconditional, not just an implication. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlembi	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, d, x, y, z   B, d, x, y, z

Proof of Theorem bezoutlembi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlembz 11692	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
2		simpllr 523	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> z e. ZZ )
3		simpll 518	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) -> A e. ZZ )
4	3	ad3antrrr 483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> A e. ZZ )
5		simplrl 524	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> x e. ZZ )
6		dvdsmultr1 11531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. ZZ /\ A e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( z || A -> z || ( A x. x ) ) )
7	2, 4, 5, 6	syl3anc 1216	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( z || A -> z || ( A x. x ) ) )
8		simplr 519	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) -> B e. ZZ )
9	8	ad3antrrr 483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> B e. ZZ )
10		simplrr 525	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> y e. ZZ )
11		dvdsmultr1 11531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. ZZ /\ B e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( z || B -> z || ( B x. y ) ) )
12	2, 9, 10, 11	syl3anc 1216	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( z || B -> z || ( B x. y ) ) )
13	4, 5	zmulcld 9179	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( A x. x ) e. ZZ )
14	9, 10	zmulcld 9179	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( B x. y ) e. ZZ )
15		dvds2add 11527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. ZZ /\ ( A x. x ) e. ZZ /\ ( B x. y ) e. ZZ ) -> ( ( z || ( A x. x ) /\ z || ( B x. y ) ) -> z || ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
16	2, 13, 14, 15	syl3anc 1216	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( ( z || ( A x. x ) /\ z || ( B x. y ) ) -> z || ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
17	7, 12, 16	syl2and 293	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( ( z || A /\ z || B ) -> z || ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
18		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) )
19	18	breq2d 3941	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( z || d <-> z || ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
20	17, 19	sylibrd 168	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( ( z || A /\ z || B ) -> z || d ) )
21		bi3 118	. . . . . . . . 9 |- ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) -> ( ( ( z || A /\ z || B ) -> z || d ) -> ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
22	20, 21	syl5com 29	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) -> ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
23	22	ex 114	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) -> ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) ) )
24	23	rexlimdvva 2557	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) -> ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) ) )
25		imdistan 440	. . . . . . 7 |- ( ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) -> ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) ) <-> ( ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) /\ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) /\ ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) ) )
26		ancom 264	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) <-> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) /\ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
27		ancom 264	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) <-> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) /\ ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
28	26, 27	imbi12i 238	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) <-> ( ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) /\ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) /\ ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) ) )
29	25, 28	bitr4i 186	. . . . . 6 |- ( ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) -> ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) ) <-> ( ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
30	24, 29	sylib 121	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
31	30	ralimdva 2499	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) -> ( A. z e. ZZ ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> A. z e. ZZ ( ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
32		0z 9065	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
33		elex2 2702	. . . . . 6 |- ( 0 e. ZZ -> E. z z e. ZZ )
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . 5 |- E. z z e. ZZ
35		r19.27mv 3459	. . . . 5 |- ( E. z z e. ZZ -> ( A. z e. ZZ ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) <-> ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
36	34, 35	ax-mp 5	. . . 4 |- ( A. z e. ZZ ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) <-> ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
37		r19.27mv 3459	. . . . 5 |- ( E. z z e. ZZ -> ( A. z e. ZZ ( ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) <-> ( A. z e. ZZ ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
38	34, 37	ax-mp 5	. . . 4 |- ( A. z e. ZZ ( ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) <-> ( A. z e. ZZ ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
39	31, 36, 38	3imtr3g 203	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) -> ( ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( A. z e. ZZ ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
40	39	reximdva 2534	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
41	1, 40	mpd 13	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   0cc0 7620   + caddc 7623   x. cmul 7625   NN0cn0 8977   ZZcz 9054   || cdvds 11493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-fz 9791  df-fl 10043  df-mod 10096  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-dvds 11494

This theorem is referenced by:  bezoutlemeu  11695  dfgcd3  11698  bezout  11699