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Theorem bezoutlemex 10622
Description: Lemma for Bézout's identity. Existence of a number which we will later show to be the greater common divisor and its decomposition into cofactors. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 3-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
bezoutlemex  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, d, x, y    z, A, d    B, d, x, y    z, B

Proof of Theorem bezoutlemex
Dummy variables  a  b  s  t  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5573 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  t  ->  ( B  x.  y )  =  ( B  x.  t ) )
21oveq2d 5581 . . . . . . 7  |-  ( y  =  t  ->  (
( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  t
) ) )
32eqeq2d 2094 . . . . . 6  |-  ( y  =  t  ->  (
d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) )  <->  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  t ) ) ) )
43cbvrexv 2584 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  E. t  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  t ) ) )
54rexbii 2379 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  E. x  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  t ) ) )
6 oveq2 5573 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  s  ->  ( A  x.  x )  =  ( A  x.  s ) )
76oveq1d 5580 . . . . . . 7  |-  ( x  =  s  ->  (
( A  x.  x
)  +  ( B  x.  t ) )  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) ) )
87eqeq2d 2094 . . . . . 6  |-  ( x  =  s  ->  (
d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  t ) )  <->  d  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) ) )
98rexbidv 2375 . . . . 5  |-  ( x  =  s  ->  ( E. t  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  t ) )  <->  E. t  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  s
)  +  ( B  x.  t ) ) ) )
109cbvrexv 2584 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  t
) )  <->  E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  s
)  +  ( B  x.  t ) ) )
115, 10bitri 182 . . 3  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  s
)  +  ( B  x.  t ) ) )
12 simpl 107 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  ->  A  e.  NN0 )
13 simpr 108 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  ->  B  e.  NN0 )
1411, 12, 13bezoutlemb 10621 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  ->  [. B  /  d ]. E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) )
15 dfsbcq2 2828 . . . 4  |-  ( b  =  B  ->  ( [ b  /  d ] E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  [. B  / 
d ]. E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
16 breq2 3810 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  B  ->  (
z  ||  b  <->  z  ||  B ) )
1716anbi2d 452 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  B  ->  (
( z  ||  A  /\  z  ||  b )  <-> 
( z  ||  A  /\  z  ||  B ) ) )
1817imbi2d 228 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  (
( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  b ) )  <->  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) ) ) )
1918ralbidv 2374 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  b ) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) ) ) )
2019anbi1d 453 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  (
( A. z  e. 
NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  b
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )  <->  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) ) )
2120rexbidv 2375 . . . 4  |-  ( b  =  B  ->  ( E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  b ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )  <->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) ) )
2215, 21imbi12d 232 . . 3  |-  ( b  =  B  ->  (
( [ b  / 
d ] E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  b ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )  <->  ( [. B  /  d ]. E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) ) ) )
2311, 12, 13bezoutlema 10620 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  ->  [. A  /  d ]. E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) )
24 dfsbcq2 2828 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  ( [ a  /  d ] E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  [. A  / 
d ]. E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
25 breq2 3810 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  A  ->  (
z  ||  a  <->  z  ||  A ) )
2625anbi1d 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  A  ->  (
( z  ||  a  /\  z  ||  b )  <-> 
( z  ||  A  /\  z  ||  b ) ) )
2726imbi2d 228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  A  ->  (
( z  ||  d  ->  ( z  ||  a  /\  z  ||  b ) )  <->  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  b
) ) ) )
2827ralbidv 2374 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  A  ->  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  a  /\  z  ||  b ) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  b ) ) ) )
2928anbi1d 453 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  A  ->  (
( A. z  e. 
NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  a  /\  z  ||  b
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )  <->  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  b
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) ) )
3029rexbidv 2375 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  ( E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  a  /\  z  ||  b ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )  <->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  b ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) ) )
3130imbi2d 228 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
( [ b  / 
d ] E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  a  /\  z  ||  b ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )  <->  ( [
b  /  d ] E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  b
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) ) ) )
3231ralbidv 2374 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  ( A. b  e.  NN0  ( [ b  /  d ] E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  a  /\  z  ||  b
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )  <->  A. b  e.  NN0  ( [ b  /  d ] E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  b ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) ) ) )
3324, 32imbi12d 232 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
( [ a  / 
d ] E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  ->  A. b  e.  NN0  ( [ b  /  d ] E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  a  /\  z  ||  b
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) ) )  <->  ( [. A  /  d ]. E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  ->  A. b  e.  NN0  ( [ b  /  d ] E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  b
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) ) ) ) )
34 breq1 3809 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  (
z  ||  d  <->  w  ||  d
) )
35 breq1 3809 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
z  ||  a  <->  w  ||  a
) )
36 breq1 3809 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
z  ||  b  <->  w  ||  b
) )
3735, 36anbi12d 457 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  (
( z  ||  a  /\  z  ||  b )  <-> 
( w  ||  a  /\  w  ||  b ) ) )
3834, 37imbi12d 232 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  (
( z  ||  d  ->  ( z  ||  a  /\  z  ||  b ) )  <->  ( w  ||  d  ->  ( w  ||  a  /\  w  ||  b
) ) ) )
3938cbvralv 2583 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  NN0  ( z 
||  d  ->  (
z  ||  a  /\  z  ||  b ) )  <->  A. w  e.  NN0  ( w  ||  d  -> 
( w  ||  a  /\  w  ||  b ) ) )
4011, 39, 12, 13bezoutlemmain 10619 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  ->  A. a  e.  NN0  ( [ a  /  d ] E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  ->  A. b  e.  NN0  ( [ b  /  d ] E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  a  /\  z  ||  b ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) ) ) )
4133, 40, 12rspcdva 2716 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( [. A  /  d ]. E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  ->  A. b  e.  NN0  ( [ b  /  d ] E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  b ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) ) ) )
4223, 41mpd 13 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  ->  A. b  e.  NN0  ( [ b  /  d ] E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  b
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) ) )
4322, 42, 13rspcdva 2716 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( [. B  /  d ]. E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) ) )
4414, 43mpd 13 1  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   [wsb 1687   A.wral 2353   E.wrex 2354   [.wsbc 2825   class class class wbr 3806  (class class class)co 5565    + caddc 7123    x. cmul 7125   NN0cn0 8432   ZZcz 8509    || cdvds 10428
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3914  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-iinf 4358  ax-cnex 7206  ax-resscn 7207  ax-1cn 7208  ax-1re 7209  ax-icn 7210  ax-addcl 7211  ax-addrcl 7212  ax-mulcl 7213  ax-mulrcl 7214  ax-addcom 7215  ax-mulcom 7216  ax-addass 7217  ax-mulass 7218  ax-distr 7219  ax-i2m1 7220  ax-0lt1 7221  ax-1rid 7222  ax-0id 7223  ax-rnegex 7224  ax-precex 7225  ax-cnre 7226  ax-pre-ltirr 7227  ax-pre-ltwlin 7228  ax-pre-lttrn 7229  ax-pre-apti 7230  ax-pre-ltadd 7231  ax-pre-mulgt0 7232  ax-pre-mulext 7233  ax-arch 7234
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2613  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-if 3370  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-tr 3897  df-id 4077  df-po 4080  df-iso 4081  df-iord 4150  df-on 4152  df-ilim 4153  df-suc 4155  df-iom 4361  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-fo 4959  df-f1o 4960  df-fv 4961  df-riota 5521  df-ov 5568  df-oprab 5569  df-mpt2 5570  df-1st 5820  df-2nd 5821  df-recs 5976  df-frec 6062  df-pnf 7294  df-mnf 7295  df-xr 7296  df-ltxr 7297  df-le 7298  df-sub 7425  df-neg 7426  df-reap 7819  df-ap 7826  df-div 7905  df-inn 8184  df-2 8242  df-n0 8433  df-z 8510  df-uz 8778  df-q 8863  df-rp 8893  df-fz 9183  df-fl 9429  df-mod 9482  df-iseq 9599  df-iexp 9650  df-cj 9955  df-re 9956  df-im 9957  df-rsqrt 10110  df-abs 10111  df-dvds 10429
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