ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bezoutlemmo Unicode version

Theorem bezoutlemmo 10602
Description: Lemma for Bézout's identity. There is at most one nonnegative integer meeting the greatest common divisor condition. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 9-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
bezoutlemgcd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
bezoutlemgcd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
bezoutlemgcd.3  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
bezoutlemgcd.4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ZZ  ( z  ||  D  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) ) )
bezoutlemmo.5  |-  ( ph  ->  E  e.  NN0 )
bezoutlemmo.6  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ZZ  ( z  ||  E  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) ) )
Assertion
Ref Expression
bezoutlemmo  |-  ( ph  ->  D  =  E )
Distinct variable groups:    z, D    z, E    ph, z
Allowed substitution hints:    A( z)    B( z)

Proof of Theorem bezoutlemmo
StepHypRef Expression
1 bezoutlemgcd.3 . 2  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
2 bezoutlemmo.5 . 2  |-  ( ph  ->  E  e.  NN0 )
31nn0zd 8600 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
4 iddvds 10416 . . . 4  |-  ( D  e.  ZZ  ->  D  ||  D )
53, 4syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  D  ||  D )
6 breq1 3808 . . . . 5  |-  ( z  =  D  ->  (
z  ||  D  <->  D  ||  D
) )
7 breq1 3808 . . . . 5  |-  ( z  =  D  ->  (
z  ||  E  <->  D  ||  E
) )
86, 7bibi12d 233 . . . 4  |-  ( z  =  D  ->  (
( z  ||  D  <->  z 
||  E )  <->  ( D  ||  D  <->  D  ||  E ) ) )
9 bezoutlemgcd.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ZZ  ( z  ||  D  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) ) )
10 bezoutlemmo.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ZZ  ( z  ||  E  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) ) )
11 r19.26 2490 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  ZZ  (
( z  ||  D  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  ( z  ||  E 
<->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) ) )  <->  ( A. z  e.  ZZ  (
z  ||  D  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  A. z  e.  ZZ  (
z  ||  E  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) ) ) )
129, 10, 11sylanbrc 408 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ZZ  ( ( z  ||  D 
<->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  ( z 
||  E  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) ) ) )
13 biantr 894 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  ||  D  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  ( z  ||  E 
<->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) ) )  ->  (
z  ||  D  <->  z  ||  E ) )
1413ralimi 2431 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ZZ  (
( z  ||  D  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  ( z  ||  E 
<->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) ) )  ->  A. z  e.  ZZ  ( z  ||  D 
<->  z  ||  E ) )
1512, 14syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ZZ  ( z  ||  D  <->  z 
||  E ) )
168, 15, 3rspcdva 2715 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  ||  D  <->  D 
||  E ) )
175, 16mpbid 145 . 2  |-  ( ph  ->  D  ||  E )
182nn0zd 8600 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  ZZ )
19 iddvds 10416 . . . 4  |-  ( E  e.  ZZ  ->  E  ||  E )
2018, 19syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  E  ||  E )
21 breq1 3808 . . . . 5  |-  ( z  =  E  ->  (
z  ||  D  <->  E  ||  D
) )
22 breq1 3808 . . . . 5  |-  ( z  =  E  ->  (
z  ||  E  <->  E  ||  E
) )
2321, 22bibi12d 233 . . . 4  |-  ( z  =  E  ->  (
( z  ||  D  <->  z 
||  E )  <->  ( E  ||  D  <->  E  ||  E ) ) )
2423, 15, 18rspcdva 2715 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E  ||  D  <->  E 
||  E ) )
2520, 24mpbird 165 . 2  |-  ( ph  ->  E  ||  D )
26 dvdseq 10456 . 2  |-  ( ( ( D  e.  NN0  /\  E  e.  NN0 )  /\  ( D  ||  E  /\  E  ||  D ) )  ->  D  =  E )
271, 2, 17, 25, 26syl22anc 1171 1  |-  ( ph  ->  D  =  E )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2353   class class class wbr 3805   NN0cn0 8407   ZZcz 8484    || cdvds 10403
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208  ax-arch 7209  ax-caucvg 7210
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-frec 6060  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-2 8217  df-3 8218  df-4 8219  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-q 8838  df-rp 8868  df-iseq 9574  df-iexp 9625  df-cj 9930  df-re 9931  df-im 9932  df-rsqrt 10085  df-abs 10086  df-dvds 10404
This theorem is referenced by:  bezoutlemeu  10603
  Copyright terms: Public domain W3C validator