ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bezoutlemnewy Unicode version

Theorem bezoutlemnewy 10592
Description: Lemma for Bézout's identity. The is-bezout predicate holds for  ( y  mod 
W ). (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
bezoutlemstep.is-bezout  |-  ( ph  <->  E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  r  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) ) )
bezoutlemstep.a  |-  ( th 
->  A  e.  NN0 )
bezoutlemstep.b  |-  ( th 
->  B  e.  NN0 )
bezoutlemstep.w  |-  ( th 
->  W  e.  NN )
bezoutlemstep.y-is-bezout  |-  ( th 
->  [ y  /  r ] ph )
bezoutlemstep.y-nn0  |-  ( th 
->  y  e.  NN0 )
bezoutlemstep.w-is-bezout  |-  ( th 
->  [. W  /  r ]. ph )
Assertion
Ref Expression
bezoutlemnewy  |-  ( th 
->  [. ( y  mod 
W )  /  r ]. ph )
Distinct variable groups:    A, s, r, t    B, s, r, t    W, s, r, t    y,
s, t    ph, s, t    th, s, t    y, r
Allowed substitution hints:    ph( y, r)    th( y,
r)    A( y)    B( y)    W( y)

Proof of Theorem bezoutlemnewy
Dummy variables  j  k  q  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bezoutlemstep.w-is-bezout . . 3  |-  ( th 
->  [. W  /  r ]. ph )
2 bezoutlemstep.is-bezout . . . . 5  |-  ( ph  <->  E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  r  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) ) )
32sbcbii 2882 . . . 4  |-  ( [. W  /  r ]. ph  <->  [. W  / 
r ]. E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  r  =  ( ( A  x.  s
)  +  ( B  x.  t ) ) )
4 bezoutlemstep.w . . . . 5  |-  ( th 
->  W  e.  NN )
5 eqeq1 2089 . . . . . . 7  |-  ( r  =  W  ->  (
r  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  <->  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) ) )
652rexbidv 2396 . . . . . 6  |-  ( r  =  W  ->  ( E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  r  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) )  <->  E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  W  =  ( ( A  x.  s
)  +  ( B  x.  t ) ) ) )
76sbcieg 2855 . . . . 5  |-  ( W  e.  NN  ->  ( [. W  /  r ]. E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  r  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) )  <->  E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  W  =  ( ( A  x.  s
)  +  ( B  x.  t ) ) ) )
84, 7syl 14 . . . 4  |-  ( th 
->  ( [. W  / 
r ]. E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  r  =  ( ( A  x.  s
)  +  ( B  x.  t ) )  <->  E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) ) ) )
93, 8syl5bb 190 . . 3  |-  ( th 
->  ( [. W  / 
r ]. ph  <->  E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  W  =  ( ( A  x.  s
)  +  ( B  x.  t ) ) ) )
101, 9mpbid 145 . 2  |-  ( th 
->  E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) ) )
11 bezoutlemstep.y-is-bezout . . . . . . 7  |-  ( th 
->  [ y  /  r ] ph )
12 oveq2 5571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  u  ->  ( A  x.  s )  =  ( A  x.  u ) )
1312oveq1d 5578 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  u  ->  (
( A  x.  s
)  +  ( B  x.  t ) )  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  t
) ) )
1413eqeq2d 2094 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  u  ->  (
r  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  <->  r  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  t ) ) ) )
15 oveq2 5571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  v  ->  ( B  x.  t )  =  ( B  x.  v ) )
1615oveq2d 5579 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  v  ->  (
( A  x.  u
)  +  ( B  x.  t ) )  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) ) )
1716eqeq2d 2094 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  v  ->  (
r  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  t ) )  <->  r  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) ) )
1814, 17cbvrex2v 2591 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  r  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) )  <->  E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  r  =  ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) ) )
192, 18bitri 182 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  <->  E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  r  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) ) )
2019sbbii 1690 . . . . . . . 8  |-  ( [ y  /  r ]
ph 
<->  [ y  /  r ] E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  r  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) ) )
21 nfv 1462 . . . . . . . . 9  |-  F/ r E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) )
22 eqeq1 2089 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  y  ->  (
r  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) )  <->  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) ) )
23222rexbidv 2396 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  y  ->  ( E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  r  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) )  <->  E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  y  =  ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) ) ) )
2421, 23sbie 1716 . . . . . . . 8  |-  ( [ y  /  r ] E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  r  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) )  <->  E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  y  =  ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) ) )
2520, 24bitri 182 . . . . . . 7  |-  ( [ y  /  r ]
ph 
<->  E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) ) )
2611, 25sylib 120 . . . . . 6  |-  ( th 
->  E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) ) )
2726ad2antrr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( th  /\  (
s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )
)  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  ->  E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  y  =  ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) ) )
28 bezoutlemstep.y-nn0 . . . . . . . . . . 11  |-  ( th 
->  y  e.  NN0 )
2928ad4antr 478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( th 
/\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  ->  y  e.  NN0 )
3029nn0zd 8600 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( th 
/\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  ->  y  e.  ZZ )
314ad4antr 478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( th 
/\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  ->  W  e.  NN )
3230, 31zmodcld 9479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( th 
/\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  ->  ( y  mod 
W )  e.  NN0 )
33 zq 8844 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  QQ )
3430, 33syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( th 
/\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  ->  y  e.  QQ )
3531nnzd 8601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( th 
/\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  ->  W  e.  ZZ )
36 zq 8844 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  ZZ  ->  W  e.  QQ )
3735, 36syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( th 
/\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  ->  W  e.  QQ )
3831nngt0d 8201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( th 
/\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  ->  0  <  W
)
39 modqlt 9467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  QQ  /\  W  e.  QQ  /\  0  <  W )  ->  (
y  mod  W )  <  W )
4034, 37, 38, 39syl3anc 1170 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( th 
/\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  ->  ( y  mod 
W )  <  W
)
41 eqid 2083 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  mod  W )  =  ( y  mod  W
)
42 modremain 10536 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  W  e.  NN  /\  (
( y  mod  W
)  e.  NN0  /\  ( y  mod  W
)  <  W )
)  ->  ( (
y  mod  W )  =  ( y  mod 
W )  <->  E. q  e.  ZZ  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W
) )  =  y ) )
4341, 42mpbii 146 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  W  e.  NN  /\  (
( y  mod  W
)  e.  NN0  /\  ( y  mod  W
)  <  W )
)  ->  E. q  e.  ZZ  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W
) )  =  y )
4430, 31, 32, 40, 43syl112anc 1174 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( th 
/\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  ->  E. q  e.  ZZ  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W ) )  =  y )
45 simprl 498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )
)  ->  u  e.  ZZ )
4645ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  ->  u  e.  ZZ )
47 simprl 498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
q  e.  ZZ )
48 simplrl 502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( th  /\  (
s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )
)  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  ->  s  e.  ZZ )
4948ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
s  e.  ZZ )
5047, 49zmulcld 8608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( q  x.  s
)  e.  ZZ )
5146, 50zsubcld 8607 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( u  -  (
q  x.  s ) )  e.  ZZ )
52 simprr 499 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )
)  ->  v  e.  ZZ )
5352ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
v  e.  ZZ )
54 simplrr 503 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( th  /\  (
s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )
)  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  ->  t  e.  ZZ )
5554ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
t  e.  ZZ )
5647, 55zmulcld 8608 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( q  x.  t
)  e.  ZZ )
5753, 56zsubcld 8607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( v  -  (
q  x.  t ) )  e.  ZZ )
58 simplr 497 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )
59 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( th  /\  (
s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )
)  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  ->  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) ) )
6059ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  ->  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )
6160oveq2d 5579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( q  x.  W
)  =  ( q  x.  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) ) ) )
6247zcnd 8603 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
q  e.  CC )
63 bezoutlemstep.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( th 
->  A  e.  NN0 )
6463ad5antr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  ->  A  e.  NN0 )
6564nn0cnd 8462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  ->  A  e.  CC )
6649zcnd 8603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
s  e.  CC )
6765, 66mulcld 7253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( A  x.  s
)  e.  CC )
68 bezoutlemstep.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( th 
->  B  e.  NN0 )
6968ad5antr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  ->  B  e.  NN0 )
7069nn0cnd 8462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  ->  B  e.  CC )
7155zcnd 8603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
t  e.  CC )
7270, 71mulcld 7253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( B  x.  t
)  e.  CC )
7362, 67, 72adddid 7257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( q  x.  (
( A  x.  s
)  +  ( B  x.  t ) ) )  =  ( ( q  x.  ( A  x.  s ) )  +  ( q  x.  ( B  x.  t
) ) ) )
7462, 65, 66mul12d 7379 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( q  x.  ( A  x.  s )
)  =  ( A  x.  ( q  x.  s ) ) )
7562, 70, 71mul12d 7379 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( q  x.  ( B  x.  t )
)  =  ( B  x.  ( q  x.  t ) ) )
7674, 75oveq12d 5581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( ( q  x.  ( A  x.  s
) )  +  ( q  x.  ( B  x.  t ) ) )  =  ( ( A  x.  ( q  x.  s ) )  +  ( B  x.  ( q  x.  t
) ) ) )
7761, 73, 763eqtrd 2119 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( q  x.  W
)  =  ( ( A  x.  ( q  x.  s ) )  +  ( B  x.  ( q  x.  t
) ) ) )
7858, 77oveq12d 5581 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( y  -  (
q  x.  W ) )  =  ( ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) )  -  ( ( A  x.  ( q  x.  s ) )  +  ( B  x.  (
q  x.  t ) ) ) ) )
79 simprr 499 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W ) )  =  y )
8028ad5antr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
y  e.  NN0 )
8180nn0cnd 8462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
y  e.  CC )
8231adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  ->  W  e.  NN )
8382nncnd 8172 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  ->  W  e.  CC )
8462, 83mulcld 7253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( q  x.  W
)  e.  CC )
8534adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
y  e.  QQ )
8637adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  ->  W  e.  QQ )
8738adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
0  <  W )
8885, 86, 87modqcld 9462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( y  mod  W
)  e.  QQ )
89 qcn 8852 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  mod  W )  e.  QQ  ->  (
y  mod  W )  e.  CC )
9088, 89syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( y  mod  W
)  e.  CC )
9181, 84, 90subaddd 7556 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( ( y  -  ( q  x.  W
) )  =  ( y  mod  W )  <-> 
( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W ) )  =  y ) )
9279, 91mpbird 165 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( y  -  (
q  x.  W ) )  =  ( y  mod  W ) )
9346zcnd 8603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  ->  u  e.  CC )
9465, 93mulcld 7253 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( A  x.  u
)  e.  CC )
9553zcnd 8603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
v  e.  CC )
9670, 95mulcld 7253 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( B  x.  v
)  e.  CC )
9762, 66mulcld 7253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( q  x.  s
)  e.  CC )
9865, 97mulcld 7253 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( A  x.  (
q  x.  s ) )  e.  CC )
9962, 71mulcld 7253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( q  x.  t
)  e.  CC )
10070, 99mulcld 7253 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( B  x.  (
q  x.  t ) )  e.  CC )
10194, 96, 98, 100addsub4d 7585 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) )  -  (
( A  x.  (
q  x.  s ) )  +  ( B  x.  ( q  x.  t ) ) ) )  =  ( ( ( A  x.  u
)  -  ( A  x.  ( q  x.  s ) ) )  +  ( ( B  x.  v )  -  ( B  x.  (
q  x.  t ) ) ) ) )
10278, 92, 1013eqtr3d 2123 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( y  mod  W
)  =  ( ( ( A  x.  u
)  -  ( A  x.  ( q  x.  s ) ) )  +  ( ( B  x.  v )  -  ( B  x.  (
q  x.  t ) ) ) ) )
10365, 93, 97subdid 7637 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( A  x.  (
u  -  ( q  x.  s ) ) )  =  ( ( A  x.  u )  -  ( A  x.  ( q  x.  s
) ) ) )
10470, 95, 99subdid 7637 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( B  x.  (
v  -  ( q  x.  t ) ) )  =  ( ( B  x.  v )  -  ( B  x.  ( q  x.  t
) ) ) )
105103, 104oveq12d 5581 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( ( A  x.  ( u  -  (
q  x.  s ) ) )  +  ( B  x.  ( v  -  ( q  x.  t ) ) ) )  =  ( ( ( A  x.  u
)  -  ( A  x.  ( q  x.  s ) ) )  +  ( ( B  x.  v )  -  ( B  x.  (
q  x.  t ) ) ) ) )
106102, 105eqtr4d 2118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( y  mod  W
)  =  ( ( A  x.  ( u  -  ( q  x.  s ) ) )  +  ( B  x.  ( v  -  (
q  x.  t ) ) ) ) )
107 oveq2 5571 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( v  -  ( q  x.  t
) )  ->  ( B  x.  k )  =  ( B  x.  ( v  -  (
q  x.  t ) ) ) )
108107oveq2d 5579 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( v  -  ( q  x.  t
) )  ->  (
( A  x.  (
u  -  ( q  x.  s ) ) )  +  ( B  x.  k ) )  =  ( ( A  x.  ( u  -  ( q  x.  s
) ) )  +  ( B  x.  (
v  -  ( q  x.  t ) ) ) ) )
109108eqeq2d 2094 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( v  -  ( q  x.  t
) )  ->  (
( y  mod  W
)  =  ( ( A  x.  ( u  -  ( q  x.  s ) ) )  +  ( B  x.  k ) )  <->  ( y  mod  W )  =  ( ( A  x.  (
u  -  ( q  x.  s ) ) )  +  ( B  x.  ( v  -  ( q  x.  t
) ) ) ) ) )
110109rspcev 2710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( v  -  (
q  x.  t ) )  e.  ZZ  /\  ( y  mod  W
)  =  ( ( A  x.  ( u  -  ( q  x.  s ) ) )  +  ( B  x.  ( v  -  (
q  x.  t ) ) ) ) )  ->  E. k  e.  ZZ  ( y  mod  W
)  =  ( ( A  x.  ( u  -  ( q  x.  s ) ) )  +  ( B  x.  k ) ) )
11157, 106, 110syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  ->  E. k  e.  ZZ  ( y  mod  W
)  =  ( ( A  x.  ( u  -  ( q  x.  s ) ) )  +  ( B  x.  k ) ) )
112 oveq2 5571 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  ( u  -  ( q  x.  s
) )  ->  ( A  x.  j )  =  ( A  x.  ( u  -  (
q  x.  s ) ) ) )
113112oveq1d 5578 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  ( u  -  ( q  x.  s
) )  ->  (
( A  x.  j
)  +  ( B  x.  k ) )  =  ( ( A  x.  ( u  -  ( q  x.  s
) ) )  +  ( B  x.  k
) ) )
114113eqeq2d 2094 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  ( u  -  ( q  x.  s
) )  ->  (
( y  mod  W
)  =  ( ( A  x.  j )  +  ( B  x.  k ) )  <->  ( y  mod  W )  =  ( ( A  x.  (
u  -  ( q  x.  s ) ) )  +  ( B  x.  k ) ) ) )
115114rexbidv 2374 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( u  -  ( q  x.  s
) )  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( y  mod  W
)  =  ( ( A  x.  j )  +  ( B  x.  k ) )  <->  E. k  e.  ZZ  ( y  mod 
W )  =  ( ( A  x.  (
u  -  ( q  x.  s ) ) )  +  ( B  x.  k ) ) ) )
116115rspcev 2710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( u  -  (
q  x.  s ) )  e.  ZZ  /\  E. k  e.  ZZ  (
y  mod  W )  =  ( ( A  x.  ( u  -  ( q  x.  s
) ) )  +  ( B  x.  k
) ) )  ->  E. j  e.  ZZ  E. k  e.  ZZ  (
y  mod  W )  =  ( ( A  x.  j )  +  ( B  x.  k
) ) )
11751, 111, 116syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  ->  E. j  e.  ZZ  E. k  e.  ZZ  (
y  mod  W )  =  ( ( A  x.  j )  +  ( B  x.  k
) ) )
118 oveq2 5571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  s  ->  ( A  x.  j )  =  ( A  x.  s ) )
119118oveq1d 5578 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  s  ->  (
( A  x.  j
)  +  ( B  x.  k ) )  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  k
) ) )
120119eqeq2d 2094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  s  ->  (
( y  mod  W
)  =  ( ( A  x.  j )  +  ( B  x.  k ) )  <->  ( y  mod  W )  =  ( ( A  x.  s
)  +  ( B  x.  k ) ) ) )
121 oveq2 5571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  t  ->  ( B  x.  k )  =  ( B  x.  t ) )
122121oveq2d 5579 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  t  ->  (
( A  x.  s
)  +  ( B  x.  k ) )  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) ) )
123122eqeq2d 2094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  t  ->  (
( y  mod  W
)  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  k ) )  <->  ( y  mod  W )  =  ( ( A  x.  s
)  +  ( B  x.  t ) ) ) )
124120, 123cbvrex2v 2591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. j  e.  ZZ  E. k  e.  ZZ  (
y  mod  W )  =  ( ( A  x.  j )  +  ( B  x.  k
) )  <->  E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  ( y  mod 
W )  =  ( ( A  x.  s
)  +  ( B  x.  t ) ) )
125117, 124sylib 120 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  ->  E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  (
y  mod  W )  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) ) )
12632adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( y  mod  W
)  e.  NN0 )
127 eqeq1 2089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  ( y  mod 
W )  ->  (
r  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  <->  ( y  mod  W )  =  ( ( A  x.  s
)  +  ( B  x.  t ) ) ) )
1281272rexbidv 2396 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  ( y  mod 
W )  ->  ( E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  r  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) )  <->  E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  ( y  mod 
W )  =  ( ( A  x.  s
)  +  ( B  x.  t ) ) ) )
129128sbcieg 2855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  mod  W )  e.  NN0  ->  ( [. ( y  mod  W
)  /  r ]. E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  r  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) )  <->  E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  ( y  mod 
W )  =  ( ( A  x.  s
)  +  ( B  x.  t ) ) ) )
130126, 129syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( [. ( y  mod 
W )  /  r ]. E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  r  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) )  <->  E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  ( y  mod 
W )  =  ( ( A  x.  s
)  +  ( B  x.  t ) ) ) )
131125, 130mpbird 165 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  ->  [. ( y  mod  W
)  /  r ]. E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  r  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) ) )
1322sbcbii 2882 . . . . . . . . 9  |-  ( [. ( y  mod  W
)  /  r ]. ph  <->  [. ( y  mod  W
)  /  r ]. E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  r  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) ) )
133131, 132sylibr 132 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  ->  [. ( y  mod  W
)  /  r ]. ph )
13444, 133rexlimddv 2486 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( th 
/\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  /\  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  ->  [. ( y  mod 
W )  /  r ]. ph )
135134ex 113 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  /\  (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )
)  ->  ( y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) )  ->  [. (
y  mod  W )  /  r ]. ph )
)
136135rexlimdvva 2489 . . . . 5  |-  ( ( ( th  /\  (
s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )
)  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  ->  ( E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  y  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) )  ->  [. (
y  mod  W )  /  r ]. ph )
)
13727, 136mpd 13 . . . 4  |-  ( ( ( th  /\  (
s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )
)  /\  W  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) )  ->  [. (
y  mod  W )  /  r ]. ph )
138137ex 113 . . 3  |-  ( ( th  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) )  -> 
( W  =  ( ( A  x.  s
)  +  ( B  x.  t ) )  ->  [. ( y  mod 
W )  /  r ]. ph ) )
139138rexlimdvva 2489 . 2  |-  ( th 
->  ( E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  W  =  ( ( A  x.  s
)  +  ( B  x.  t ) )  ->  [. ( y  mod 
W )  /  r ]. ph ) )
14010, 139mpd 13 1  |-  ( th 
->  [. ( y  mod 
W )  /  r ]. ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434   [wsb 1687   E.wrex 2354   [.wsbc 2824   class class class wbr 3805  (class class class)co 5563   CCcc 7093   0cc0 7095    + caddc 7098    x. cmul 7100    < clt 7267    - cmin 7398   NNcn 8158   NN0cn0 8407   ZZcz 8484   QQcq 8837    mod cmo 9456
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208  ax-arch 7209
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-frec 6060  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-2 8217  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-q 8838  df-rp 8868  df-fl 9404  df-mod 9457  df-iseq 9574  df-iexp 9625  df-cj 9930  df-re 9931  df-im 9932  df-rsqrt 10085  df-abs 10086  df-dvds 10404
This theorem is referenced by:  bezoutlemstep  10593
  Copyright terms: Public domain W3C validator