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Theorem bezoutlemstep 10593
Description: Lemma for Bézout's identity. This is the induction step for the proof by induction. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
bezoutlemstep.is-bezout  |-  ( ph  <->  E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  r  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) ) )
bezoutlemstep.a  |-  ( th 
->  A  e.  NN0 )
bezoutlemstep.b  |-  ( th 
->  B  e.  NN0 )
bezoutlemstep.w  |-  ( th 
->  W  e.  NN )
bezoutlemstep.y-is-bezout  |-  ( th 
->  [ y  /  r ] ph )
bezoutlemstep.y-nn0  |-  ( th 
->  y  e.  NN0 )
bezoutlemstep.w-is-bezout  |-  ( th 
->  [. W  /  r ]. ph )
bezoutlemstep.sub-gcd  |-  ( ps  <->  A. z  e.  NN0  (
z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) ) )
bezoutlemstep.hyp  |-  ( ( th  /\  [. (
y  mod  W )  /  r ]. ph )  ->  E. r  e.  NN0  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)
bezoutlemstep.thx  |-  F/ x th
bezoutlemstep.thr  |-  F/ r th
Assertion
Ref Expression
bezoutlemstep  |-  ( th 
->  E. r  e.  NN0  ( [. W  /  x ]. ps  /\  ph )
)
Distinct variable groups:    A, r, s, t    B, r, s, t    W, r, x, y, z    W, s, t, y    ph, z    ph, s, t    ps, z    th, z    th, s, t
Allowed substitution hints:    ph( x, y, r)    ps( x, y, t, s, r)    th( x, y, r)    A( x, y, z)    B( x, y, z)

Proof of Theorem bezoutlemstep
Dummy variable  q is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bezoutlemstep.is-bezout . . . 4  |-  ( ph  <->  E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  r  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) ) )
2 bezoutlemstep.a . . . 4  |-  ( th 
->  A  e.  NN0 )
3 bezoutlemstep.b . . . 4  |-  ( th 
->  B  e.  NN0 )
4 bezoutlemstep.w . . . 4  |-  ( th 
->  W  e.  NN )
5 bezoutlemstep.y-is-bezout . . . 4  |-  ( th 
->  [ y  /  r ] ph )
6 bezoutlemstep.y-nn0 . . . 4  |-  ( th 
->  y  e.  NN0 )
7 bezoutlemstep.w-is-bezout . . . 4  |-  ( th 
->  [. W  /  r ]. ph )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7bezoutlemnewy 10592 . . 3  |-  ( th 
->  [. ( y  mod 
W )  /  r ]. ph )
9 bezoutlemstep.hyp . . 3  |-  ( ( th  /\  [. (
y  mod  W )  /  r ]. ph )  ->  E. r  e.  NN0  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)
108, 9mpdan 412 . 2  |-  ( th 
->  E. r  e.  NN0  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)
11 bezoutlemstep.thr . . 3  |-  F/ r th
12 eqidd 2084 . . . . . 6  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  ( y  mod 
W )  =  ( y  mod  W ) )
136nn0zd 8600 . . . . . . . 8  |-  ( th 
->  y  e.  ZZ )
1413ad2antrr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  y  e.  ZZ )
154ad2antrr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  W  e.  NN )
1613, 4zmodcld 9479 . . . . . . . 8  |-  ( th 
->  ( y  mod  W
)  e.  NN0 )
1716ad2antrr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  ( y  mod 
W )  e.  NN0 )
18 zq 8844 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  QQ )
1914, 18syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  y  e.  QQ )
2015nnzd 8601 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  W  e.  ZZ )
21 zq 8844 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  ZZ  ->  W  e.  QQ )
2220, 21syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  W  e.  QQ )
2315nngt0d 8201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  0  <  W
)
24 modqlt 9467 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  QQ  /\  W  e.  QQ  /\  0  <  W )  ->  (
y  mod  W )  <  W )
2519, 22, 23, 24syl3anc 1170 . . . . . . 7  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  ( y  mod 
W )  <  W
)
26 modremain 10536 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  W  e.  NN  /\  (
( y  mod  W
)  e.  NN0  /\  ( y  mod  W
)  <  W )
)  ->  ( (
y  mod  W )  =  ( y  mod 
W )  <->  E. q  e.  ZZ  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W
) )  =  y ) )
2714, 15, 17, 25, 26syl112anc 1174 . . . . . 6  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  ( ( y  mod  W )  =  ( y  mod  W
)  <->  E. q  e.  ZZ  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W ) )  =  y ) )
2812, 27mpbid 145 . . . . 5  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  E. q  e.  ZZ  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W ) )  =  y )
29 simplrl 502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  ->  [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps )
30 bezoutlemstep.thx . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x th
31 bezoutlemstep.sub-gcd . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ps  <->  A. z  e.  NN0  (
z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) ) )
3231sbcbii 2882 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( [. W  /  y ]. ps  <->  [. W  /  y ]. A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) ) )
33 breq2 3809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  W  ->  (
z  ||  y  <->  z  ||  W ) )
3433anbi2d 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  W  ->  (
( z  ||  x  /\  z  ||  y )  <-> 
( z  ||  x  /\  z  ||  W ) ) )
3534imbi2d 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  W  ->  (
( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) )  <->  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W
) ) ) )
3635ralbidv 2373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  W  ->  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W ) ) ) )
3736sbcieg 2855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( W  e.  NN  ->  ( [. W  /  y ]. A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W ) ) ) )
384, 37syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( th 
->  ( [. W  / 
y ]. A. z  e. 
NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y
) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W
) ) ) )
3932, 38syl5bb 190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( th 
->  ( [. W  / 
y ]. ps  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W
) ) ) )
4030, 39sbcbid 2880 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( th 
->  ( [. ( y  mod  W )  /  x ]. [. W  / 
y ]. ps  <->  [. ( y  mod  W )  /  x ]. A. z  e. 
NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W
) ) ) )
41 breq2 3809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  ( y  mod 
W )  ->  (
z  ||  x  <->  z  ||  ( y  mod  W
) ) )
4241anbi1d 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( y  mod 
W )  ->  (
( z  ||  x  /\  z  ||  W )  <-> 
( z  ||  (
y  mod  W )  /\  z  ||  W ) ) )
4342imbi2d 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( y  mod 
W )  ->  (
( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W ) )  <->  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  ( y  mod  W
)  /\  z  ||  W ) ) ) )
4443ralbidv 2373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( y  mod 
W )  ->  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W ) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  (
y  mod  W )  /\  z  ||  W ) ) ) )
4544sbcieg 2855 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  mod  W )  e.  NN0  ->  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W ) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  (
y  mod  W )  /\  z  ||  W ) ) ) )
4616, 45syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( th 
->  ( [. ( y  mod  W )  /  x ]. A. z  e. 
NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W
) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  ( y  mod  W
)  /\  z  ||  W ) ) ) )
4740, 46bitrd 186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( th 
->  ( [. ( y  mod  W )  /  x ]. [. W  / 
y ]. ps  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  ( y  mod  W
)  /\  z  ||  W ) ) ) )
4847ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  (
y  mod  W )  /\  z  ||  W ) ) ) )
4929, 48mpbid 145 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  ->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  (
y  mod  W )  /\  z  ||  W ) ) )
5049r19.21bi 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( th 
/\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. (
y  mod  W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\ 
ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W ) )  =  y ) )  /\  z  e. 
NN0 )  ->  (
z  ||  r  ->  ( z  ||  ( y  mod  W )  /\  z  ||  W ) ) )
5150imp 122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
( z  ||  (
y  mod  W )  /\  z  ||  W ) )
5251simprd 112 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
z  ||  W )
53 simplr 497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
z  e.  NN0 )
5453nn0zd 8600 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
z  e.  ZZ )
55 simprl 498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
q  e.  ZZ )
5655ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
q  e.  ZZ )
5720ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  ->  W  e.  ZZ )
58 dvdsmultr2 10443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  q  e.  ZZ  /\  W  e.  ZZ )  ->  (
z  ||  W  ->  z 
||  ( q  x.  W ) ) )
5954, 56, 57, 58syl3anc 1170 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
( z  ||  W  ->  z  ||  ( q  x.  W ) ) )
6052, 59mpd 13 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
z  ||  ( q  x.  W ) )
6151simpld 110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
z  ||  ( y  mod  W ) )
6256, 57zmulcld 8608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
( q  x.  W
)  e.  ZZ )
6317ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
( y  mod  W
)  e.  NN0 )
6463nn0zd 8600 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
( y  mod  W
)  e.  ZZ )
65 dvds2add 10437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  ( q  x.  W
)  e.  ZZ  /\  ( y  mod  W
)  e.  ZZ )  ->  ( ( z 
||  ( q  x.  W )  /\  z  ||  ( y  mod  W
) )  ->  z  ||  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W ) ) ) )
6654, 62, 64, 65syl3anc 1170 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
( ( z  ||  ( q  x.  W
)  /\  z  ||  ( y  mod  W
) )  ->  z  ||  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W ) ) ) )
6760, 61, 66mp2and 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
z  ||  ( (
q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) ) )
68 simprr 499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W ) )  =  y )
6968ad2antrr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W ) )  =  y )
7067, 69breqtrd 3829 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
z  ||  y )
7152, 70jca 300 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
( z  ||  W  /\  z  ||  y ) )
7271ex 113 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( th 
/\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. (
y  mod  W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\ 
ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W ) )  =  y ) )  /\  z  e. 
NN0 )  ->  (
z  ||  r  ->  ( z  ||  W  /\  z  ||  y ) ) )
7372ralrimiva 2439 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  ->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  W  /\  z  ||  y ) ) )
7431sbcbii 2882 . . . . . . . . 9  |-  ( [. W  /  x ]. ps  <->  [. W  /  x ]. A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) ) )
75 breq2 3809 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  W  ->  (
z  ||  x  <->  z  ||  W ) )
7675anbi1d 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  W  ->  (
( z  ||  x  /\  z  ||  y )  <-> 
( z  ||  W  /\  z  ||  y ) ) )
7776imbi2d 228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  W  ->  (
( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) )  <->  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  W  /\  z  ||  y
) ) ) )
7877ralbidv 2373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  W  ->  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  W  /\  z  ||  y ) ) ) )
7978sbcieg 2855 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  NN  ->  ( [. W  /  x ]. A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  W  /\  z  ||  y ) ) ) )
804, 79syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( th 
->  ( [. W  /  x ]. A. z  e. 
NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y
) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  W  /\  z  ||  y
) ) ) )
8174, 80syl5bb 190 . . . . . . . 8  |-  ( th 
->  ( [. W  /  x ]. ps  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  W  /\  z  ||  y
) ) ) )
8281ad3antrrr 476 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( [. W  /  x ]. ps  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  W  /\  z  ||  y ) ) ) )
8373, 82mpbird 165 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  ->  [. W  /  x ]. ps )
84 simplrr 503 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  ->  ph )
8583, 84jca 300 . . . . 5  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( [. W  /  x ]. ps  /\  ph )
)
8628, 85rexlimddv 2486 . . . 4  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  ( [. W  /  x ]. ps  /\  ph ) )
8786exp31 356 . . 3  |-  ( th 
->  ( r  e.  NN0  ->  ( ( [. (
y  mod  W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\ 
ph )  ->  ( [. W  /  x ]. ps  /\  ph )
) ) )
8811, 87reximdai 2464 . 2  |-  ( th 
->  ( E. r  e. 
NN0  ( [. (
y  mod  W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\ 
ph )  ->  E. r  e.  NN0  ( [. W  /  x ]. ps  /\  ph ) ) )
8910, 88mpd 13 1  |-  ( th 
->  E. r  e.  NN0  ( [. W  /  x ]. ps  /\  ph )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285   F/wnf 1390    e. wcel 1434   [wsb 1687   A.wral 2353   E.wrex 2354   [.wsbc 2824   class class class wbr 3805  (class class class)co 5563   0cc0 7095    + caddc 7098    x. cmul 7100    < clt 7267   NNcn 8158   NN0cn0 8407   ZZcz 8484   QQcq 8837    mod cmo 9456    || cdvds 10403
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208  ax-arch 7209
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-frec 6060  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-2 8217  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-q 8838  df-rp 8868  df-fl 9404  df-mod 9457  df-iseq 9574  df-iexp 9625  df-cj 9930  df-re 9931  df-im 9932  df-rsqrt 10085  df-abs 10086  df-dvds 10404
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