Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-2inf Unicode version

Theorem bj-2inf 10449
Description: Two formulations of the axiom of infinity (see ax-infvn 10453 and bj-omex 10454) . (Contributed by BJ, 30-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bj-2inf  |-  ( om  e.  _V  <->  E. x
(Ind  x  /\  A. y (Ind  y  ->  x 
C_  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem bj-2inf
StepHypRef Expression
1 eqid 2056 . . . 4  |-  om  =  om
2 bj-om 10448 . . . 4  |-  ( om  e.  _V  ->  ( om  =  om  <->  (Ind  om  /\ 
A. y (Ind  y  ->  om  C_  y ) ) ) )
31, 2mpbii 140 . . 3  |-  ( om  e.  _V  ->  (Ind  om 
/\  A. y (Ind  y  ->  om  C_  y ) ) )
4 bj-indeq 10440 . . . . 5  |-  ( x  =  om  ->  (Ind  x 
<-> Ind 
om ) )
5 sseq1 2994 . . . . . . 7  |-  ( x  =  om  ->  (
x  C_  y  <->  om  C_  y
) )
65imbi2d 223 . . . . . 6  |-  ( x  =  om  ->  (
(Ind  y  ->  x  C_  y )  <->  (Ind  y  ->  om  C_  y )
) )
76albidv 1721 . . . . 5  |-  ( x  =  om  ->  ( A. y (Ind  y  ->  x  C_  y )  <->  A. y
(Ind  y  ->  om  C_  y
) ) )
84, 7anbi12d 450 . . . 4  |-  ( x  =  om  ->  (
(Ind  x  /\  A. y (Ind  y  ->  x 
C_  y ) )  <-> 
(Ind  om  /\  A. y
(Ind  y  ->  om  C_  y
) ) ) )
98spcegv 2658 . . 3  |-  ( om  e.  _V  ->  (
(Ind  om  /\  A. y
(Ind  y  ->  om  C_  y
) )  ->  E. x
(Ind  x  /\  A. y (Ind  y  ->  x 
C_  y ) ) ) )
103, 9mpd 13 . 2  |-  ( om  e.  _V  ->  E. x
(Ind  x  /\  A. y (Ind  y  ->  x 
C_  y ) ) )
11 vex 2577 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
12 bj-om 10448 . . . . . 6  |-  ( x  e.  _V  ->  (
x  =  om  <->  (Ind  x  /\  A. y (Ind  y  ->  x  C_  y
) ) ) )
1311, 12ax-mp 7 . . . . 5  |-  ( x  =  om  <->  (Ind  x  /\  A. y (Ind  y  ->  x  C_  y
) ) )
1413biimpri 128 . . . 4  |-  ( (Ind  x  /\  A. y
(Ind  y  ->  x  C_  y ) )  ->  x  =  om )
1514eximi 1507 . . 3  |-  ( E. x (Ind  x  /\  A. y (Ind  y  ->  x  C_  y ) )  ->  E. x  x  =  om )
16 isset 2578 . . 3  |-  ( om  e.  _V  <->  E. x  x  =  om )
1715, 16sylibr 141 . 2  |-  ( E. x (Ind  x  /\  A. y (Ind  y  ->  x  C_  y ) )  ->  om  e.  _V )
1810, 17impbii 121 1  |-  ( om  e.  _V  <->  E. x
(Ind  x  /\  A. y (Ind  y  ->  x 
C_  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102   A.wal 1257    = wceq 1259   E.wex 1397    e. wcel 1409   _Vcvv 2574    C_ wss 2945   omcom 4341  Ind wind 10437
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-nul 3911  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-bd0 10320  ax-bdor 10323  ax-bdex 10326  ax-bdeq 10327  ax-bdel 10328  ax-bdsb 10329  ax-bdsep 10391
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-sn 3409  df-pr 3410  df-uni 3609  df-int 3644  df-suc 4136  df-iom 4342  df-bdc 10348  df-bj-ind 10438
This theorem is referenced by:  bj-omex  10454
  Copyright terms: Public domain W3C validator