Mathbox for BJ < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-findis Unicode version

Theorem bj-findis 10491
 Description: Principle of induction, using implicit substitutions (the biconditional versions of the hypotheses are implicit substitutions, and we have weakened them to implications). Constructive proof (from CZF). See bj-bdfindis 10459 for a bounded version not requiring ax-setind 4290. See finds 4351 for a proof in IZF. From this version, it is easy to prove of finds 4351, finds2 4352, finds1 4353. (Contributed by BJ, 22-Dec-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bj-findis.nf0
bj-findis.nf1
bj-findis.nfsuc
bj-findis.0
bj-findis.1
bj-findis.suc
Assertion
Ref Expression
bj-findis
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem bj-findis
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bj-nn0suc 10476 . . . . 5
2 pm3.21 255 . . . . . . . 8
32ad2antrr 465 . . . . . . 7
4 pm2.04 80 . . . . . . . . . . 11
54ralimi2 2398 . . . . . . . . . 10
6 imim2 53 . . . . . . . . . . . 12
76ral2imi 2402 . . . . . . . . . . 11
87imp 119 . . . . . . . . . 10
95, 8sylan2 274 . . . . . . . . 9
10 r19.29 2467 . . . . . . . . . . 11
11 vex 2577 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1211sucid 4182 . . . . . . . . . . . . . . 15
13 eleq2 2117 . . . . . . . . . . . . . . 15
1412, 13mpbiri 161 . . . . . . . . . . . . . 14
15 ax-1 5 . . . . . . . . . . . . . . 15
16 pm2.27 39 . . . . . . . . . . . . . . 15
1715, 16anim12ii 329 . . . . . . . . . . . . . 14
1814, 17mpdan 406 . . . . . . . . . . . . 13
1918impcom 120 . . . . . . . . . . . 12
2019reximi 2433 . . . . . . . . . . 11
2110, 20syl 14 . . . . . . . . . 10
2221ex 112 . . . . . . . . 9
239, 22syl 14 . . . . . . . 8
2423adantll 453 . . . . . . 7
253, 24orim12d 710 . . . . . 6
2625ex 112 . . . . 5
271, 26syl7bi 158 . . . 4
2827alrimiv 1770 . . 3
29 nfv 1437 . . . . 5
30 bj-findis.nf1 . . . . 5
3129, 30nfim 1480 . . . 4
32 nfv 1437 . . . . 5
33 nfv 1437 . . . . . . 7
34 bj-findis.nf0 . . . . . . 7
3533, 34nfan 1473 . . . . . 6
36 nfcv 2194 . . . . . . 7
37 nfv 1437 . . . . . . . 8
38 bj-findis.nfsuc . . . . . . . 8
3937, 38nfan 1473 . . . . . . 7
4036, 39nfrexxy 2378 . . . . . 6
4135, 40nfor 1482 . . . . 5
4232, 41nfim 1480 . . . 4
43 nfv 1437 . . . 4
44 nfv 1437 . . . 4
45 eleq1 2116 . . . . . 6
4645biimprd 151 . . . . 5
47 bj-findis.1 . . . . 5
4846, 47imim12d 72 . . . 4
49 eleq1 2116 . . . . . 6
5049biimpd 136 . . . . 5
51 eqtr 2073 . . . . . . . 8
52 bj-findis.0 . . . . . . . 8
5351, 52syl 14 . . . . . . 7
5453expimpd 349 . . . . . 6
55 eqtr 2073 . . . . . . . . 9
56 bj-findis.suc . . . . . . . . 9
5755, 56syl 14 . . . . . . . 8
5857expimpd 349 . . . . . . 7
5958rexlimdvw 2453 . . . . . 6
6054, 59jaod 647 . . . . 5
6150, 60imim12d 72 . . . 4
6231, 42, 43, 44, 48, 61setindis 10479 . . 3
6328, 62syl 14 . 2
64 df-ral 2328 . 2
6563, 64sylibr 141 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 101   wo 639  wal 1257   wceq 1259  wnf 1365   wcel 1409  wral 2323  wrex 2324  c0 3252   csuc 4130  com 4341 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-nul 3911  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-bd0 10320  ax-bdim 10321  ax-bdan 10322  ax-bdor 10323  ax-bdn 10324  ax-bdal 10325  ax-bdex 10326  ax-bdeq 10327  ax-bdel 10328  ax-bdsb 10329  ax-bdsep 10391  ax-infvn 10453 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-sn 3409  df-pr 3410  df-uni 3609  df-int 3644  df-suc 4136  df-iom 4342  df-bdc 10348  df-bj-ind 10438 This theorem is referenced by:  bj-findisg  10492  bj-findes  10493
 Copyright terms: Public domain W3C validator