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Theorem bj-indind 10443
Description: If  A is inductive and  B is "inductive in  A", then  ( A  i^i  B ) is inductive. (Contributed by BJ, 25-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
bj-indind  |-  ( (Ind  A  /\  ( (/)  e.  B  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B ) ) )  -> Ind  ( A  i^i  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem bj-indind
StepHypRef Expression
1 df-bj-ind 10438 . . . 4  |-  (Ind  A  <->  (
(/)  e.  A  /\  A. x  e.  A  suc  x  e.  A )
)
2 id 19 . . . . 5  |-  ( ( ( (/)  e.  A  /\  (/)  e.  B )  /\  ( A. x  e.  A  suc  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B ) ) )  ->  ( ( (/)  e.  A  /\  (/)  e.  B
)  /\  ( A. x  e.  A  suc  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B ) ) ) )
32an4s 530 . . . 4  |-  ( ( ( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  A  suc  x  e.  A )  /\  ( (/)  e.  B  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B
) ) )  -> 
( ( (/)  e.  A  /\  (/)  e.  B )  /\  ( A. x  e.  A  suc  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B ) ) ) )
41, 3sylanb 272 . . 3  |-  ( (Ind  A  /\  ( (/)  e.  B  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B ) ) )  ->  ( ( (/)  e.  A  /\  (/)  e.  B
)  /\  ( A. x  e.  A  suc  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B ) ) ) )
5 elin 3154 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  ( A  i^i  B
)  <->  ( (/)  e.  A  /\  (/)  e.  B ) )
65biimpri 128 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  (/) 
e.  B )  ->  (/) 
e.  ( A  i^i  B ) )
7 r19.26 2458 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  ( suc  x  e.  A  /\  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B
) )  <->  ( A. x  e.  A  suc  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B ) ) )
87biimpri 128 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  A  suc  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B ) )  ->  A. x  e.  A  ( suc  x  e.  A  /\  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B
) ) )
9 simpl 106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( suc  x  e.  A  /\  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B
) )  ->  suc  x  e.  A )
10 simpr 107 . . . . . . . . 9  |-  ( ( suc  x  e.  A  /\  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B
) )  ->  (
x  e.  B  ->  suc  x  e.  B ) )
11 elin 3154 . . . . . . . . . 10  |-  ( suc  x  e.  ( A  i^i  B )  <->  ( suc  x  e.  A  /\  suc  x  e.  B ) )
1211biimpri 128 . . . . . . . . 9  |-  ( ( suc  x  e.  A  /\  suc  x  e.  B
)  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B
) )
139, 10, 12syl6an 1339 . . . . . . . 8  |-  ( ( suc  x  e.  A  /\  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B
) )  ->  (
x  e.  B  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B ) ) )
1413ralimi 2401 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  ( suc  x  e.  A  /\  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B
) )  ->  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B
) ) )
158, 14syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  A  suc  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B ) )  ->  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B
) ) )
16 df-ral 2328 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  (
x  e.  B  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B ) )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B
) ) ) )
17 elin 3154 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( A  i^i  B )  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  B ) )
18 pm3.31 253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  -> 
( x  e.  B  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B
) ) )
1917, 18syl5bi 145 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  -> 
( x  e.  B  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
x  e.  ( A  i^i  B )  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B ) ) )
2019alimi 1360 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B
) ) )  ->  A. x ( x  e.  ( A  i^i  B
)  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B
) ) )
2116, 20sylbi 118 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  (
x  e.  B  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B ) )  ->  A. x ( x  e.  ( A  i^i  B )  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B
) ) )
2215, 21syl 14 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  A  suc  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B ) )  ->  A. x
( x  e.  ( A  i^i  B )  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B ) ) )
23 df-ral 2328 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( A  i^i  B ) suc  x  e.  ( A  i^i  B
)  <->  A. x ( x  e.  ( A  i^i  B )  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B
) ) )
2422, 23sylibr 141 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  suc  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B ) )  ->  A. x  e.  ( A  i^i  B
) suc  x  e.  ( A  i^i  B ) )
256, 24anim12i 325 . . 3  |-  ( ( ( (/)  e.  A  /\  (/)  e.  B )  /\  ( A. x  e.  A  suc  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B ) ) )  ->  ( (/)  e.  ( A  i^i  B )  /\  A. x  e.  ( A  i^i  B
) suc  x  e.  ( A  i^i  B ) ) )
264, 25syl 14 . 2  |-  ( (Ind  A  /\  ( (/)  e.  B  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B ) ) )  ->  ( (/)  e.  ( A  i^i  B )  /\  A. x  e.  ( A  i^i  B
) suc  x  e.  ( A  i^i  B ) ) )
27 df-bj-ind 10438 . 2  |-  (Ind  ( A  i^i  B )  <-> 
( (/)  e.  ( A  i^i  B )  /\  A. x  e.  ( A  i^i  B ) suc  x  e.  ( A  i^i  B ) ) )
2826, 27sylibr 141 1  |-  ( (Ind  A  /\  ( (/)  e.  B  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B ) ) )  -> Ind  ( A  i^i  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101   A.wal 1257    e. wcel 1409   A.wral 2323    i^i cin 2944   (/)c0 3252   suc csuc 4130  Ind wind 10437
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-v 2576  df-in 2952  df-bj-ind 10438
This theorem is referenced by:  peano5set  10451
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