Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-nn0sucALT Unicode version

Theorem bj-nn0sucALT 10931
Description: Alternate proof of bj-nn0suc 10917, also constructive but from ax-inf2 10929, hence requiring ax-bdsetind 10921. (Contributed by BJ, 8-Dec-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bj-nn0sucALT  |-  ( A  e.  om  <->  ( A  =  (/)  \/  E. x  e.  om  A  =  suc  x ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem bj-nn0sucALT
Dummy variables  a  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-inf2 10929 . . 3  |-  E. a A. y ( y  e.  a  <->  ( y  =  (/)  \/  E. z  e.  a  y  =  suc  z ) )
2 vex 2605 . . . . 5  |-  a  e. 
_V
3 bdcv 10797 . . . . . 6  |- BOUNDED  a
43bj-inf2vn 10927 . . . . 5  |-  ( a  e.  _V  ->  ( A. y ( y  e.  a  <->  ( y  =  (/)  \/  E. z  e.  a  y  =  suc  z ) )  -> 
a  =  om )
)
52, 4ax-mp 7 . . . 4  |-  ( A. y ( y  e.  a  <->  ( y  =  (/)  \/  E. z  e.  a  y  =  suc  z ) )  -> 
a  =  om )
6 eleq2 2143 . . . . . . 7  |-  ( a  =  om  ->  (
y  e.  a  <->  y  e.  om ) )
7 rexeq 2551 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  om  ->  ( E. z  e.  a 
y  =  suc  z  <->  E. z  e.  om  y  =  suc  z ) )
87orbi2d 737 . . . . . . 7  |-  ( a  =  om  ->  (
( y  =  (/)  \/ 
E. z  e.  a  y  =  suc  z
)  <->  ( y  =  (/)  \/  E. z  e. 
om  y  =  suc  z ) ) )
96, 8bibi12d 233 . . . . . 6  |-  ( a  =  om  ->  (
( y  e.  a  <-> 
( y  =  (/)  \/ 
E. z  e.  a  y  =  suc  z
) )  <->  ( y  e.  om  <->  ( y  =  (/)  \/  E. z  e. 
om  y  =  suc  z ) ) ) )
109albidv 1746 . . . . 5  |-  ( a  =  om  ->  ( A. y ( y  e.  a  <->  ( y  =  (/)  \/  E. z  e.  a  y  =  suc  z ) )  <->  A. y
( y  e.  om  <->  ( y  =  (/)  \/  E. z  e.  om  y  =  suc  z ) ) ) )
11 nfcv 2220 . . . . . . . 8  |-  F/_ y A
12 nfv 1462 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( A  e.  om  ->  ( A  =  (/)  \/ 
E. x  e.  om  A  =  suc  x ) )
13 eleq1 2142 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
y  e.  om  <->  A  e.  om ) )
14 eqeq1 2088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  (
y  =  (/)  <->  A  =  (/) ) )
15 suceq 4165 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  suc  z  =  suc  x )
1615eqeq2d 2093 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  (
y  =  suc  z  <->  y  =  suc  x ) )
1716cbvrexv 2579 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z  e.  om  y  =  suc  z  <->  E. x  e.  om  y  =  suc  x )
18 eqeq1 2088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  A  ->  (
y  =  suc  x  <->  A  =  suc  x ) )
1918rexbidv 2370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  A  ->  ( E. x  e.  om  y  =  suc  x  <->  E. x  e.  om  A  =  suc  x ) )
2017, 19syl5bb 190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  ( E. z  e.  om  y  =  suc  z  <->  E. x  e.  om  A  =  suc  x ) )
2114, 20orbi12d 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
( y  =  (/)  \/ 
E. z  e.  om  y  =  suc  z )  <-> 
( A  =  (/)  \/ 
E. x  e.  om  A  =  suc  x ) ) )
2213, 21bibi12d 233 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  (
( y  e.  om  <->  ( y  =  (/)  \/  E. z  e.  om  y  =  suc  z ) )  <-> 
( A  e.  om  <->  ( A  =  (/)  \/  E. x  e.  om  A  =  suc  x ) ) ) )
23 bi1 116 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  om  <->  ( A  =  (/)  \/  E. x  e.  om  A  =  suc  x ) )  -> 
( A  e.  om  ->  ( A  =  (/)  \/ 
E. x  e.  om  A  =  suc  x ) ) )
2422, 23syl6bi 161 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  (
( y  e.  om  <->  ( y  =  (/)  \/  E. z  e.  om  y  =  suc  z ) )  ->  ( A  e. 
om  ->  ( A  =  (/)  \/  E. x  e. 
om  A  =  suc  x ) ) ) )
2511, 12, 24spcimgf 2679 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  ( A. y ( y  e. 
om 
<->  ( y  =  (/)  \/ 
E. z  e.  om  y  =  suc  z ) )  ->  ( A  e.  om  ->  ( A  =  (/)  \/  E. x  e.  om  A  =  suc  x ) ) ) )
2625pm2.43b 51 . . . . . 6  |-  ( A. y ( y  e. 
om 
<->  ( y  =  (/)  \/ 
E. z  e.  om  y  =  suc  z ) )  ->  ( A  e.  om  ->  ( A  =  (/)  \/  E. x  e.  om  A  =  suc  x ) ) )
27 peano1 4343 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  om
28 eleq1 2142 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  e.  om  <->  (/)  e.  om ) )
2927, 28mpbiri 166 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  A  e. 
om )
30 bj-peano2 10892 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  om  ->  suc  x  e.  om )
31 eleq1a 2151 . . . . . . . . . 10  |-  ( suc  x  e.  om  ->  ( A  =  suc  x  ->  A  e.  om )
)
3231imp 122 . . . . . . . . 9  |-  ( ( suc  x  e.  om  /\  A  =  suc  x
)  ->  A  e.  om )
3330, 32sylan 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  om  /\  A  =  suc  x )  ->  A  e.  om )
3433rexlimiva 2473 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  om  A  =  suc  x  ->  A  e.  om )
3529, 34jaoi 669 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  (/)  \/  E. x  e.  om  A  =  suc  x )  ->  A  e.  om )
3626, 35impbid1 140 . . . . 5  |-  ( A. y ( y  e. 
om 
<->  ( y  =  (/)  \/ 
E. z  e.  om  y  =  suc  z ) )  ->  ( A  e.  om  <->  ( A  =  (/)  \/  E. x  e. 
om  A  =  suc  x ) ) )
3710, 36syl6bi 161 . . . 4  |-  ( a  =  om  ->  ( A. y ( y  e.  a  <->  ( y  =  (/)  \/  E. z  e.  a  y  =  suc  z ) )  -> 
( A  e.  om  <->  ( A  =  (/)  \/  E. x  e.  om  A  =  suc  x ) ) ) )
385, 37mpcom 36 . . 3  |-  ( A. y ( y  e.  a  <->  ( y  =  (/)  \/  E. z  e.  a  y  =  suc  z ) )  -> 
( A  e.  om  <->  ( A  =  (/)  \/  E. x  e.  om  A  =  suc  x ) ) )
391, 38eximii 1534 . 2  |-  E. a
( A  e.  om  <->  ( A  =  (/)  \/  E. x  e.  om  A  =  suc  x ) )
40 bj-ex 10724 . 2  |-  ( E. a ( A  e. 
om 
<->  ( A  =  (/)  \/ 
E. x  e.  om  A  =  suc  x ) )  ->  ( A  e.  om  <->  ( A  =  (/)  \/  E. x  e. 
om  A  =  suc  x ) ) )
4139, 40ax-mp 7 1  |-  ( A  e.  om  <->  ( A  =  (/)  \/  E. x  e.  om  A  =  suc  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 103    \/ wo 662   A.wal 1283    = wceq 1285   E.wex 1422    e. wcel 1434   E.wrex 2350   _Vcvv 2602   (/)c0 3258   suc csuc 4128   omcom 4339
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-nul 3912  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-bd0 10762  ax-bdim 10763  ax-bdor 10765  ax-bdex 10768  ax-bdeq 10769  ax-bdel 10770  ax-bdsb 10771  ax-bdsep 10833  ax-bdsetind 10921  ax-inf2 10929
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-sn 3412  df-pr 3413  df-uni 3610  df-int 3645  df-suc 4134  df-iom 4340  df-bdc 10790  df-bj-ind 10880
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator