Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-nnord Unicode version

Theorem bj-nnord 13083
Description: A natural number is an ordinal. Constructive proof of nnord 4495. Can also be proved from bj-nnelon 13084 if the latter is proved from bj-omssonALT 13088. (Contributed by BJ, 27-Oct-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bj-nnord  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )

Proof of Theorem bj-nnord
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bj-nntrans2 13077 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  Tr  A )
2 bj-omtrans 13081 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  ->  A  C_ 
om )
32sseld 3066 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  om )
)
4 bj-nntrans2 13077 . . . . 5  |-  ( x  e.  om  ->  Tr  x )
53, 4syl6 33 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  (
x  e.  A  ->  Tr  x ) )
65alrimiv 1830 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  A. x
( x  e.  A  ->  Tr  x ) )
7 df-ral 2398 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x 
<-> 
A. x ( x  e.  A  ->  Tr  x ) )
86, 7sylibr 133 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  A. x  e.  A  Tr  x
)
9 dford3 4259 . 2  |-  ( Ord 
A  <->  ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  Tr  x ) )
101, 8, 9sylanbrc 413 1  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4   A.wal 1314    e. wcel 1465   A.wral 2393   Tr wtr 3996   Ord word 4254   omcom 4474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-nul 4024  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-bd0 12938  ax-bdor 12941  ax-bdal 12943  ax-bdex 12944  ax-bdeq 12945  ax-bdel 12946  ax-bdsb 12947  ax-bdsep 13009  ax-infvn 13066
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-sn 3503  df-pr 3504  df-uni 3707  df-int 3742  df-tr 3997  df-iord 4258  df-suc 4263  df-iom 4475  df-bdc 12966  df-bj-ind 13052
This theorem is referenced by:  bj-nnelon  13084
  Copyright terms: Public domain W3C validator