Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-uniex2 Unicode version

Theorem bj-uniex2 10865
Description: uniex2 4199 from bounded separation. (Contributed by BJ, 15-Oct-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bj-uniex2  |-  E. y 
y  =  U. x
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem bj-uniex2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bdcuni 10825 . . . 4  |- BOUNDED 
U. x
21bdeli 10795 . . 3  |- BOUNDED  z  e.  U. x
3 zfun 4197 . . . 4  |-  E. y A. z ( E. y
( z  e.  y  /\  y  e.  x
)  ->  z  e.  y )
4 eluni 3612 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  U. x  <->  E. y
( z  e.  y  /\  y  e.  x
) )
54imbi1i 236 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  U. x  ->  z  e.  y )  <-> 
( E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
65albii 1400 . . . . 5  |-  ( A. z ( z  e. 
U. x  ->  z  e.  y )  <->  A. z
( E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
76exbii 1537 . . . 4  |-  ( E. y A. z ( z  e.  U. x  ->  z  e.  y )  <->  E. y A. z ( E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
83, 7mpbir 144 . . 3  |-  E. y A. z ( z  e. 
U. x  ->  z  e.  y )
92, 8bdbm1.3ii 10840 . 2  |-  E. y A. z ( z  e.  y  <->  z  e.  U. x )
10 dfcleq 2076 . . 3  |-  ( y  =  U. x  <->  A. z
( z  e.  y  <-> 
z  e.  U. x
) )
1110exbii 1537 . 2  |-  ( E. y  y  =  U. x 
<->  E. y A. z
( z  e.  y  <-> 
z  e.  U. x
) )
129, 11mpbir 144 1  |-  E. y 
y  =  U. x
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103   A.wal 1283    = wceq 1285   E.wex 1422    e. wcel 1434   U.cuni 3609
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-un 4196  ax-bd0 10762  ax-bdex 10768  ax-bdel 10770  ax-bdsb 10771  ax-bdsep 10833
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-rex 2355  df-v 2604  df-uni 3610  df-bdc 10790
This theorem is referenced by:  bj-uniex  10866
  Copyright terms: Public domain W3C validator