Theorem bj-uniex2 13114

Description: uniex2 4358 from bounded separation. (Contributed by BJ, 15-Oct-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-uniex2	|- E. y y = U. x

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem bj-uniex2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdcuni 13074	. . . 4 |- BOUNDED U. x
2	1	bdeli 13044	. . 3 |- BOUNDED z e. U. x
3		zfun 4356	. . . 4 |- E. y A. z ( E. y ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. y )
4		eluni 3739	. . . . . . 7 |- ( z e. U. x <-> E. y ( z e. y /\ y e. x ) )
5	4	imbi1i 237	. . . . . 6 |- ( ( z e. U. x -> z e. y ) <-> ( E. y ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. y ) )
6	5	albii 1446	. . . . 5 |- ( A. z ( z e. U. x -> z e. y ) <-> A. z ( E. y ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. y ) )
7	6	exbii 1584	. . . 4 |- ( E. y A. z ( z e. U. x -> z e. y ) <-> E. y A. z ( E. y ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. y ) )
8	3, 7	mpbir 145	. . 3 |- E. y A. z ( z e. U. x -> z e. y )
9	2, 8	bdbm1.3ii 13089	. 2 |- E. y A. z ( z e. y <-> z e. U. x )
10		dfcleq 2133	. . 3 |- ( y = U. x <-> A. z ( z e. y <-> z e. U. x ) )
11	10	exbii 1584	. 2 |- ( E. y y = U. x <-> E. y A. z ( z e. y <-> z e. U. x ) )
12	9, 11	mpbir 145	1 |- E. y y = U. x

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1329   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   U.cuni 3736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-un 4355  ax-bd0 13011  ax-bdex 13017  ax-bdel 13019  ax-bdsb 13020  ax-bdsep 13082

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-rex 2422  df-v 2688  df-uni 3737  df-bdc 13039

This theorem is referenced by:  bj-uniex  13115