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Theorem bm1.1 2041
Description: Any set defined by a property is the only set defined by that property. Theorem 1.1 of [BellMachover] p. 462. (Contributed by NM, 30-Jun-1994.)
Hypothesis
Ref Expression
bm1.1.1  |-  F/ x ph
Assertion
Ref Expression
bm1.1  |-  ( E. x A. y ( y  e.  x  <->  ph )  ->  E! x A. y ( y  e.  x  <->  ph ) )
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem bm1.1
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1437 . . . . . . . 8  |-  F/ x  y  e.  z
2 bm1.1.1 . . . . . . . 8  |-  F/ x ph
31, 2nfbi 1497 . . . . . . 7  |-  F/ x
( y  e.  z  <->  ph )
43nfal 1484 . . . . . 6  |-  F/ x A. y ( y  e.  z  <->  ph )
5 elequ2 1617 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
y  e.  x  <->  y  e.  z ) )
65bibi1d 226 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( y  e.  x  <->  ph )  <->  ( y  e.  z  <->  ph ) ) )
76albidv 1721 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y ( y  e.  x  <->  ph )  <->  A. y
( y  e.  z  <->  ph ) ) )
84, 7sbie 1690 . . . . 5  |-  ( [ z  /  x ] A. y ( y  e.  x  <->  ph )  <->  A. y
( y  e.  z  <->  ph ) )
9 19.26 1386 . . . . . 6  |-  ( A. y ( ( y  e.  x  <->  ph )  /\  ( y  e.  z  <->  ph ) )  <->  ( A. y ( y  e.  x  <->  ph )  /\  A. y ( y  e.  z  <->  ph ) ) )
10 biantr 870 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  x  <->  ph )  /\  ( y  e.  z  <->  ph ) )  ->  ( y  e.  x  <->  y  e.  z ) )
1110alimi 1360 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( ( y  e.  x  <->  ph )  /\  ( y  e.  z  <->  ph ) )  ->  A. y
( y  e.  x  <->  y  e.  z ) )
12 ax-ext 2038 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( y  e.  x  <->  y  e.  z )  ->  x  =  z )
1311, 12syl 14 . . . . . 6  |-  ( A. y ( ( y  e.  x  <->  ph )  /\  ( y  e.  z  <->  ph ) )  ->  x  =  z )
149, 13sylbir 129 . . . . 5  |-  ( ( A. y ( y  e.  x  <->  ph )  /\  A. y ( y  e.  z  <->  ph ) )  ->  x  =  z )
158, 14sylan2b 275 . . . 4  |-  ( ( A. y ( y  e.  x  <->  ph )  /\  [ z  /  x ] A. y ( y  e.  x  <->  ph ) )  ->  x  =  z )
1615gen2 1355 . . 3  |-  A. x A. z ( ( A. y ( y  e.  x  <->  ph )  /\  [
z  /  x ] A. y ( y  e.  x  <->  ph ) )  ->  x  =  z )
1716jctr 302 . 2  |-  ( E. x A. y ( y  e.  x  <->  ph )  -> 
( E. x A. y ( y  e.  x  <->  ph )  /\  A. x A. z ( ( A. y ( y  e.  x  <->  ph )  /\  [ z  /  x ] A. y ( y  e.  x  <->  ph ) )  ->  x  =  z )
) )
18 nfv 1437 . . 3  |-  F/ z A. y ( y  e.  x  <->  ph )
1918eu2 1960 . 2  |-  ( E! x A. y ( y  e.  x  <->  ph )  <->  ( E. x A. y ( y  e.  x  <->  ph )  /\  A. x A. z ( ( A. y ( y  e.  x  <->  ph )  /\  [ z  /  x ] A. y ( y  e.  x  <->  ph ) )  ->  x  =  z )
) )
2017, 19sylibr 141 1  |-  ( E. x A. y ( y  e.  x  <->  ph )  ->  E! x A. y ( y  e.  x  <->  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102   A.wal 1257   F/wnf 1365   E.wex 1397   [wsb 1661   E!weu 1916
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919
This theorem is referenced by:  zfnuleu  3909
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