Theorem bm2.5ii 4248

Description: Problem 2.5(ii) of [BellMachover] p. 471. (Contributed by NM, 20-Sep-2003.)

Hypothesis

Ref	Expression
bm2.5ii.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
bm2.5ii	|- ( A C_ On -> U. A = |^| { x e. On | A. y e. A y C_ x } )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem bm2.5ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bm2.5ii.1	. . 3 |- A e. _V
2	1	ssonunii 4241	. 2 |- ( A C_ On -> U. A e. On )
3		unissb 3639	. . . . . 6 |- ( U. A C_ x <-> A. y e. A y C_ x )
4	3	a1i 9	. . . . 5 |- ( x e. On -> ( U. A C_ x <-> A. y e. A y C_ x ) )
5	4	rabbiia 2592	. . . 4 |- { x e. On | U. A C_ x } = { x e. On | A. y e. A y C_ x }
6	5	inteqi 3648	. . 3 |- |^| { x e. On | U. A C_ x } = |^| { x e. On | A. y e. A y C_ x }
7		intmin 3664	. . 3 |- ( U. A e. On -> |^| { x e. On | U. A C_ x } = U. A )
8	6, 7	syl5reqr 2129	. 2 |- ( U. A e. On -> U. A = |^| { x e. On | A. y e. A y C_ x } )
9	2, 8	syl 14	1 |- ( A C_ On -> U. A = |^| { x e. On | A. y e. A y C_ x } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 103   = wceq 1285   e. wcel 1434   A.wral 2349   {crab 2353   _Vcvv 2602   C_ wss 2974   U.cuni 3609   |^|cint 3644   Oncon0 4126

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-un 4196

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-in 2980  df-ss 2987  df-uni 3610  df-int 3645  df-tr 3884  df-iord 4129  df-on 4131

This theorem is referenced by: (None)