Theorem bm2.5ii 4412

Description: Problem 2.5(ii) of [BellMachover] p. 471. (Contributed by NM, 20-Sep-2003.)

Hypothesis

Ref	Expression
bm2.5ii.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
bm2.5ii	|- ( A C_ On -> U. A = |^| { x e. On | A. y e. A y C_ x } )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem bm2.5ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bm2.5ii.1	. . 3 |- A e. _V
2	1	ssonunii 4405	. 2 |- ( A C_ On -> U. A e. On )
3		unissb 3766	. . . . . 6 |- ( U. A C_ x <-> A. y e. A y C_ x )
4	3	a1i 9	. . . . 5 |- ( x e. On -> ( U. A C_ x <-> A. y e. A y C_ x ) )
5	4	rabbiia 2671	. . . 4 |- { x e. On | U. A C_ x } = { x e. On | A. y e. A y C_ x }
6	5	inteqi 3775	. . 3 |- |^| { x e. On | U. A C_ x } = |^| { x e. On | A. y e. A y C_ x }
7		intmin 3791	. . 3 |- ( U. A e. On -> |^| { x e. On | U. A C_ x } = U. A )
8	6, 7	syl5reqr 2187	. 2 |- ( U. A e. On -> U. A = |^| { x e. On | A. y e. A y C_ x } )
9	2, 8	syl 14	1 |- ( A C_ On -> U. A = |^| { x e. On | A. y e. A y C_ x } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   {crab 2420   _Vcvv 2686   C_ wss 3071   U.cuni 3736   |^|cint 3771   Oncon0 4285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-in 3077  df-ss 3084  df-uni 3737  df-int 3772  df-tr 4027  df-iord 4288  df-on 4290

This theorem is referenced by: (None)