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Theorem brabvv 5576
Description: If two classes are in a relationship given by an ordered-pair class abstraction, the classes are sets. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
brabvv  |-  ( X { <. x ,  y
>.  |  ph } Y  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )
)
Distinct variable groups:    x, y, X   
x, Y, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem brabvv
StepHypRef Expression
1 df-br 3788 . . . . . 6  |-  ( X { <. x ,  y
>.  |  ph } Y  <->  <. X ,  Y >.  e. 
{ <. x ,  y
>.  |  ph } )
2 elopab 4015 . . . . . 6  |-  ( <. X ,  Y >.  e. 
{ <. x ,  y
>.  |  ph }  <->  E. x E. y ( <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) )
31, 2bitri 182 . . . . 5  |-  ( X { <. x ,  y
>.  |  ph } Y  <->  E. x E. y (
<. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) )
4 exsimpl 1549 . . . . . 6  |-  ( E. y ( <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph )  ->  E. y <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y >. )
54eximi 1532 . . . . 5  |-  ( E. x E. y (
<. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  ->  E. x E. y <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y
>. )
63, 5sylbi 119 . . . 4  |-  ( X { <. x ,  y
>.  |  ph } Y  ->  E. x E. y <. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.
)
7 vex 2605 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
8 vex 2605 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
97, 8opth 3994 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  =  <. X ,  Y >.  <-> 
( x  =  X  /\  y  =  Y ) )
109biimpi 118 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  =  <. X ,  Y >.  ->  ( x  =  X  /\  y  =  Y ) )
1110eqcoms 2085 . . . . 5  |-  ( <. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  ->  ( x  =  X  /\  y  =  Y ) )
12112eximi 1533 . . . 4  |-  ( E. x E. y <. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  ->  E. x E. y
( x  =  X  /\  y  =  Y ) )
136, 12syl 14 . . 3  |-  ( X { <. x ,  y
>.  |  ph } Y  ->  E. x E. y
( x  =  X  /\  y  =  Y ) )
14 eeanv 1849 . . 3  |-  ( E. x E. y ( x  =  X  /\  y  =  Y )  <->  ( E. x  x  =  X  /\  E. y 
y  =  Y ) )
1513, 14sylib 120 . 2  |-  ( X { <. x ,  y
>.  |  ph } Y  ->  ( E. x  x  =  X  /\  E. y  y  =  Y
) )
16 isset 2606 . . 3  |-  ( X  e.  _V  <->  E. x  x  =  X )
17 isset 2606 . . 3  |-  ( Y  e.  _V  <->  E. y 
y  =  Y )
1816, 17anbi12i 448 . 2  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  <->  ( E. x  x  =  X  /\  E. y 
y  =  Y ) )
1915, 18sylibr 132 1  |-  ( X { <. x ,  y
>.  |  ph } Y  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285   E.wex 1422    e. wcel 1434   _Vcvv 2602   <.cop 3403   class class class wbr 3787   {copab 3840
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-v 2604  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-br 3788  df-opab 3842
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