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Theorem brabvv 5785
Description: If two classes are in a relationship given by an ordered-pair class abstraction, the classes are sets. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
brabvv  |-  ( X { <. x ,  y
>.  |  ph } Y  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )
)
Distinct variable groups:    x, y, X   
x, Y, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem brabvv
StepHypRef Expression
1 df-br 3900 . . . . . 6  |-  ( X { <. x ,  y
>.  |  ph } Y  <->  <. X ,  Y >.  e. 
{ <. x ,  y
>.  |  ph } )
2 elopab 4150 . . . . . 6  |-  ( <. X ,  Y >.  e. 
{ <. x ,  y
>.  |  ph }  <->  E. x E. y ( <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) )
31, 2bitri 183 . . . . 5  |-  ( X { <. x ,  y
>.  |  ph } Y  <->  E. x E. y (
<. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) )
4 exsimpl 1581 . . . . . 6  |-  ( E. y ( <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph )  ->  E. y <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y >. )
54eximi 1564 . . . . 5  |-  ( E. x E. y (
<. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  ->  E. x E. y <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y
>. )
63, 5sylbi 120 . . . 4  |-  ( X { <. x ,  y
>.  |  ph } Y  ->  E. x E. y <. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.
)
7 vex 2663 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
8 vex 2663 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
97, 8opth 4129 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  =  <. X ,  Y >.  <-> 
( x  =  X  /\  y  =  Y ) )
109biimpi 119 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  =  <. X ,  Y >.  ->  ( x  =  X  /\  y  =  Y ) )
1110eqcoms 2120 . . . . 5  |-  ( <. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  ->  ( x  =  X  /\  y  =  Y ) )
12112eximi 1565 . . . 4  |-  ( E. x E. y <. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  ->  E. x E. y
( x  =  X  /\  y  =  Y ) )
136, 12syl 14 . . 3  |-  ( X { <. x ,  y
>.  |  ph } Y  ->  E. x E. y
( x  =  X  /\  y  =  Y ) )
14 eeanv 1884 . . 3  |-  ( E. x E. y ( x  =  X  /\  y  =  Y )  <->  ( E. x  x  =  X  /\  E. y 
y  =  Y ) )
1513, 14sylib 121 . 2  |-  ( X { <. x ,  y
>.  |  ph } Y  ->  ( E. x  x  =  X  /\  E. y  y  =  Y
) )
16 isset 2666 . . 3  |-  ( X  e.  _V  <->  E. x  x  =  X )
17 isset 2666 . . 3  |-  ( Y  e.  _V  <->  E. y 
y  =  Y )
1816, 17anbi12i 455 . 2  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  <->  ( E. x  x  =  X  /\  E. y 
y  =  Y ) )
1915, 18sylibr 133 1  |-  ( X { <. x ,  y
>.  |  ph } Y  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1316   E.wex 1453    e. wcel 1465   _Vcvv 2660   <.cop 3500   class class class wbr 3899   {copab 3958
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-v 2662  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-br 3900  df-opab 3960
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