ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  brdomg Unicode version

Theorem brdomg 6295
Description: Dominance relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
brdomg  |-  ( B  e.  C  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
Distinct variable groups:    A, f    B, f
Allowed substitution hint:    C( f)

Proof of Theorem brdomg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 6292 . . . 4  |-  Rel  ~<_
21brrelexi 4410 . . 3  |-  ( A  ~<_  B  ->  A  e.  _V )
32a1i 9 . 2  |-  ( B  e.  C  ->  ( A  ~<_  B  ->  A  e.  _V ) )
4 f1f 5123 . . . . 5  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
f : A --> B )
5 fdm 5081 . . . . . 6  |-  ( f : A --> B  ->  dom  f  =  A
)
6 vex 2605 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
76dmex 4626 . . . . . 6  |-  dom  f  e.  _V
85, 7syl6eqelr 2171 . . . . 5  |-  ( f : A --> B  ->  A  e.  _V )
94, 8syl 14 . . . 4  |-  ( f : A -1-1-> B  ->  A  e.  _V )
109exlimiv 1530 . . 3  |-  ( E. f  f : A -1-1-> B  ->  A  e.  _V )
1110a1i 9 . 2  |-  ( B  e.  C  ->  ( E. f  f : A -1-1-> B  ->  A  e. 
_V ) )
12 f1eq2 5119 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
f : x -1-1-> y  <-> 
f : A -1-1-> y ) )
1312exbidv 1747 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( E. f  f :
x -1-1-> y  <->  E. f 
f : A -1-1-> y ) )
14 f1eq3 5120 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  (
f : A -1-1-> y  <-> 
f : A -1-1-> B
) )
1514exbidv 1747 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  ( E. f  f : A -1-1-> y  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
16 df-dom 6289 . . . 4  |-  ~<_  =  { <. x ,  y >.  |  E. f  f : x -1-1-> y }
1713, 15, 16brabg 4032 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  C )  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
1817expcom 114 . 2  |-  ( B  e.  C  ->  ( A  e.  _V  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) ) )
193, 11, 18pm5.21ndd 654 1  |-  ( B  e.  C  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 103    = wceq 1285   E.wex 1422    e. wcel 1434   _Vcvv 2602   class class class wbr 3793   dom cdm 4371   -->wf 4928   -1-1->wf1 4929    ~<_ cdom 6286
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-dm 4381  df-rn 4382  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-dom 6289
This theorem is referenced by:  brdomi  6296  brdom  6297  f1dom2g  6303  f1domg  6305  dom3d  6321  phplem4dom  6397
  Copyright terms: Public domain W3C validator