ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bren Unicode version

Theorem bren 6609
Description: Equinumerosity relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
bren  |-  ( A 
~~  B  <->  E. f 
f : A -1-1-onto-> B )
Distinct variable groups:    A, f    B, f

Proof of Theorem bren
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 encv 6608 . 2  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V ) )
2 f1ofn 5336 . . . . 5  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  f  Fn  A )
3 fndm 5192 . . . . . 6  |-  ( f  Fn  A  ->  dom  f  =  A )
4 vex 2663 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
54dmex 4775 . . . . . 6  |-  dom  f  e.  _V
63, 5syl6eqelr 2209 . . . . 5  |-  ( f  Fn  A  ->  A  e.  _V )
72, 6syl 14 . . . 4  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  A  e.  _V )
8 f1ofo 5342 . . . . . 6  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  f : A -onto-> B )
9 forn 5318 . . . . . 6  |-  ( f : A -onto-> B  ->  ran  f  =  B
)
108, 9syl 14 . . . . 5  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  ran  f  =  B )
114rnex 4776 . . . . 5  |-  ran  f  e.  _V
1210, 11syl6eqelr 2209 . . . 4  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  B  e.  _V )
137, 12jca 304 . . 3  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e. 
_V ) )
1413exlimiv 1562 . 2  |-  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)
15 f1oeq2 5327 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
f : x -1-1-onto-> y  <->  f : A
-1-1-onto-> y ) )
1615exbidv 1781 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( E. f  f :
x
-1-1-onto-> y 
<->  E. f  f : A -1-1-onto-> y ) )
17 f1oeq3 5328 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  (
f : A -1-1-onto-> y  <->  f : A
-1-1-onto-> B ) )
1817exbidv 1781 . . 3  |-  ( y  =  B  ->  ( E. f  f : A
-1-1-onto-> y 
<->  E. f  f : A -1-1-onto-> B ) )
19 df-en 6603 . . 3  |-  ~~  =  { <. x ,  y
>.  |  E. f 
f : x -1-1-onto-> y }
2016, 18, 19brabg 4161 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A  ~~  B  <->  E. f  f : A -1-1-onto-> B
) )
211, 14, 20pm5.21nii 678 1  |-  ( A 
~~  B  <->  E. f 
f : A -1-1-onto-> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1316   E.wex 1453    e. wcel 1465   _Vcvv 2660   class class class wbr 3899   dom cdm 4509   ran crn 4510    Fn wfn 5088   -onto->wfo 5091   -1-1-onto->wf1o 5092    ~~ cen 6600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-dm 4519  df-rn 4520  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-en 6603
This theorem is referenced by:  domen  6613  f1oen3g  6616  ener  6641  en0  6657  ensn1  6658  en1  6661  unen  6678  enm  6682  xpen  6707  mapen  6708  ssenen  6713  phplem4  6717  phplem4on  6729  fidceq  6731  dif1en  6741  fin0  6747  fin0or  6748  en2eqpr  6769  fiintim  6785  fidcenumlemim  6808  enomnilem  6978  hasheqf1o  10499  hashfacen  10547  fz1f1o  11112  ennnfonelemim  11864  exmidunben  11866  ctinfom  11868  qnnen  11871  enctlem  11872  ctiunct  11880  exmidsbthrlem  13144  sbthom  13148
  Copyright terms: Public domain W3C validator