Theorem breqtrd 3949

Description: Substitution of equal classes into a binary relation. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
breqtrd.1	|- ( ph -> A R B )
breqtrd.2	|- ( ph -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
breqtrd	|- ( ph -> A R C )

Proof of Theorem breqtrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breqtrd.1	. 2 |- ( ph -> A R B )
2		breqtrd.2	. . 3 |- ( ph -> B = C )
3	2	breq2d 3936	. 2 |- ( ph -> ( A R B <-> A R C ) )
4	1, 3	mpbid 146	1 |- ( ph -> A R C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   class class class wbr 3924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-v 2683  df-un 3070  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925

This theorem is referenced by:  breqtrrd  3951  breqtrid  3960  tfrexlem  6224  phplem4  6742  phplem4on  6754  fidifsnen  6757  fisbth  6770  fin0  6772  fin0or  6773  ltsonq  7199  addlocprlemeqgt  7333  prmuloclemcalc  7366  mullocprlem  7371  addcanprlemu  7416  ltaprlem  7419  ltaprg  7420  prplnqu  7421  ltmprr  7443  cauappcvgprlemopl  7447  cauappcvgprlemloc  7453  cauappcvgprlemladdru  7457  cauappcvgprlemladdrl  7458  cauappcvgprlem1  7460  caucvgprlemm  7469  caucvgprlemopl  7470  caucvgprlemloc  7476  caucvgprprlemloccalc  7485  caucvgprprlemopl  7498  recexgt0sr  7574  ltm1sr  7578  prsrpos  7586  caucvgsrlemoffgt1  7600  caucvgsr  7603  suplocsrlempr  7608  pitoregt0  7650  axpre-suploclemres  7702  add20  8229  mullt0  8235  ltmul1a  8346  ltm1  8597  recgt0  8601  prodgt0gt0  8602  prodgt0  8603  prodge0  8605  lemul1a  8609  recp1lt1  8650  recreclt  8651  ledivp1  8654  mulle0r  8695  ltaddrp2d  9511  mul2lt0np  9543  xleadd1a  9649  xleaddadd  9663  fz01en  9826  fzonmapblen  9957  qbtwnrelemcalc  10026  flqaddz  10063  flhalf  10068  flqdiv  10087  modqmuladdim  10133  modqsubdir  10159  addmodlteq  10164  frecfzen2  10193  iseqf1olemab  10255  ser3le  10284  ltexp2a  10338  leexp2a  10339  exple1  10342  expubnd  10343  bernneq  10405  faclbnd6  10483  hashfz  10560  zfz1isolemiso  10575  zfz1iso  10577  seq3coll  10578  cvg1nlemcxze  10747  cvg1nlemres  10750  recvguniqlem  10759  resqrexlemover  10775  resqrexlemdec  10776  resqrexlemcalc2  10780  resqrexlemcalc3  10781  resqrexlemnm  10783  resqrexlemoverl  10786  ltabs  10852  abslt  10853  absle  10854  abstri  10869  maxabslemlub  10972  maxabslemval  10973  dfabsmax  10982  bdtrilem  11003  xrmaxiflemab  11009  xrmaxiflemlub  11010  xrmaxaddlem  11022  reccn2ap  11075  climge0  11087  climaddc2  11092  summodclem2a  11143  zsumdc  11146  isumge0  11192  fsumle  11225  fsumlt  11226  isumshft  11252  expcnvap0  11264  geolim  11273  geolim2  11274  georeclim  11275  geo2lim  11278  cvgratnnlembern  11285  cvgratnnlemfm  11291  mertenslemi1  11297  mertensabs  11299  efcllemp  11353  ef0lem  11355  efgt0  11379  eftlub  11385  efltim  11393  sinbnd  11448  cosbnd  11449  ef01bndlem  11452  sin01gt0  11457  cos01gt0  11458  sin02gt0  11459  eirraplem  11472  dvdssub2  11524  dvdsadd2b  11529  dvdsexp  11548  opoe  11581  divalglemeunn  11607  divalglemex  11608  divalglemeuneg  11609  gcdaddm  11661  bezoutlemstep  11674  dvdsgcd  11689  dvdsmulgcd  11702  bezoutr1  11710  nn0seqcvgd  11711  rpmulgcd2  11765  qredeq  11766  rpdvds  11769  prmind2  11790  divdenle  11864  phicl2  11879  hashdvds  11886  phimullem  11890  ennnfonelemkh  11914  ennnfonelemnn0  11924  psmetsym  12487  psmettri  12488  mettri2  12520  xmetsym  12526  xmettri  12530  metrtri  12535  xblss2ps  12562  xblss2  12563  blhalf  12566  xmsge0  12625  cnmet  12688  ivthinclemlopn  12772  dveflem  12844  dvef  12845  sin0pilem1  12851  sinq12gt0  12900  sinq34lt0t  12901  cosq14gt0  12902  coseq0q4123  12904  pwf1oexmid  13183  qdencn  13211  cvgcmp2nlemabs  13216