Theorem brres 4820

Description: Binary relation on a restriction. (Contributed by NM, 12-Dec-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
opelres.1	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
brres	|- ( A ( C |` D ) B <-> ( A C B /\ A e. D ) )

Proof of Theorem brres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelres.1	. . 3 |- B e. _V
2	1	opelres 4819	. 2 |- ( <. A , B >. e. ( C |` D ) <-> ( <. A , B >. e. C /\ A e. D ) )
3		df-br 3925	. 2 |- ( A ( C |` D ) B <-> <. A , B >. e. ( C |` D ) )
4		df-br 3925	. . 3 |- ( A C B <-> <. A , B >. e. C )
5	4	anbi1i 453	. 2 |- ( ( A C B /\ A e. D ) <-> ( <. A , B >. e. C /\ A e. D ) )
6	2, 3, 5	3bitr4i 211	1 |- ( A ( C |` D ) B <-> ( A C B /\ A e. D ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1480   _Vcvv 2681   <.cop 3525   class class class wbr 3924   |` cres 4536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925  df-opab 3985  df-xp 4540  df-res 4546

This theorem is referenced by:  dfres2  4866  dfima2  4878  poirr2  4926  cores  5037  resco  5038  rnco  5040  fnres  5234  fvres  5438  nfunsn  5448  1stconst  6111  2ndconst  6112