Theorem brtpos0 6142

Description: The behavior of tpos when the left argument is the empty set (which is not an ordered pair but is the "default" value of an ordered pair when the arguments are proper classes). (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brtpos0	|- ( A e. V -> ( (/)tpos F A <-> (/) F A ) )

Proof of Theorem brtpos0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brtpos2 6141	. 2 |- ( A e. V -> ( (/)tpos F A <-> ( (/) e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { (/) } F A ) ) )
2		ssun2 3235	. . . . 5 |- { (/) } C_ ( `' dom F u. { (/) } )
3		0ex 4050	. . . . . 6 |- (/) e. _V
4	3	snid 3551	. . . . 5 |- (/) e. { (/) }
5	2, 4	sselii 3089	. . . 4 |- (/) e. ( `' dom F u. { (/) } )
6	5	biantrur 301	. . 3 |- ( U. `' { (/) } F A <-> ( (/) e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { (/) } F A ) )
7		cnvsn0 5002	. . . . . 6 |- `' { (/) } = (/)
8	7	unieqi 3741	. . . . 5 |- U. `' { (/) } = U. (/)
9		uni0 3758	. . . . 5 |- U. (/) = (/)
10	8, 9	eqtri 2158	. . . 4 |- U. `' { (/) } = (/)
11	10	breq1i 3931	. . 3 |- ( U. `' { (/) } F A <-> (/) F A )
12	6, 11	bitr3i 185	. 2 |- ( ( (/) e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { (/) } F A ) <-> (/) F A )
13	1, 12	syl6bb 195	1 |- ( A e. V -> ( (/)tpos F A <-> (/) F A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1480   u. cun 3064   (/)c0 3358   {csn 3522   U.cuni 3731   class class class wbr 3924   `'ccnv 4533   dom cdm 4534  tpos ctpos 6134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-fv 5126  df-tpos 6135

This theorem is referenced by:  reldmtpos  6143  tpostpos  6154