ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  brtposg Unicode version

Theorem brtposg 5903
Description: The transposition swaps arguments of a three-parameter relation. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
brtposg  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( <. A ,  B >.tpos  F C  <->  <. B ,  A >. F C ) )

Proof of Theorem brtposg
StepHypRef Expression
1 opswapg 4837 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  U. `' { <. A ,  B >. }  =  <. B ,  A >. )
21breq1d 3803 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( U. `' { <. A ,  B >. } F C  <->  <. B ,  A >. F C ) )
323adant3 959 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( U. `' { <. A ,  B >. } F C  <->  <. B ,  A >. F C ) )
43anbi2d 452 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( ( <. A ,  B >.  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  U. `' { <. A ,  B >. } F C )  <-> 
( <. A ,  B >.  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  <. B ,  A >. F C ) ) )
5 brtpos2 5900 . . 3  |-  ( C  e.  X  ->  ( <. A ,  B >.tpos  F C  <->  ( <. A ,  B >.  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  U. `' { <. A ,  B >. } F C ) ) )
653ad2ant3 962 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( <. A ,  B >.tpos  F C  <->  ( <. A ,  B >.  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  U. `' { <. A ,  B >. } F C ) ) )
7 opexg 3991 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  W  /\  A  e.  V )  -> 
<. B ,  A >.  e. 
_V )
87ancoms 264 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  -> 
<. B ,  A >.  e. 
_V )
98anim1i 333 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  C  e.  X )  ->  ( <. B ,  A >.  e. 
_V  /\  C  e.  X ) )
1093impa 1134 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( <. B ,  A >.  e.  _V  /\  C  e.  X ) )
11 breldmg 4569 . . . . . . 7  |-  ( (
<. B ,  A >.  e. 
_V  /\  C  e.  X  /\  <. B ,  A >. F C )  ->  <. B ,  A >.  e. 
dom  F )
12113expia 1141 . . . . . 6  |-  ( (
<. B ,  A >.  e. 
_V  /\  C  e.  X )  ->  ( <. B ,  A >. F C  ->  <. B ,  A >.  e.  dom  F
) )
1310, 12syl 14 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( <. B ,  A >. F C  ->  <. B ,  A >.  e.  dom  F
) )
14 opelcnvg 4543 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( <. A ,  B >.  e.  `' dom  F  <->  <. B ,  A >.  e. 
dom  F ) )
15143adant3 959 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( <. A ,  B >.  e.  `' dom  F  <->  <. B ,  A >.  e. 
dom  F ) )
1613, 15sylibrd 167 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( <. B ,  A >. F C  ->  <. A ,  B >.  e.  `' dom  F ) )
17 elun1 3140 . . . 4  |-  ( <. A ,  B >.  e.  `' dom  F  ->  <. A ,  B >.  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} ) )
1816, 17syl6 33 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( <. B ,  A >. F C  ->  <. A ,  B >.  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} ) ) )
1918pm4.71rd 386 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( <. B ,  A >. F C  <->  ( <. A ,  B >.  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  <. B ,  A >. F C ) ) )
204, 6, 193bitr4d 218 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( <. A ,  B >.tpos  F C  <->  <. B ,  A >. F C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 920    e. wcel 1434   _Vcvv 2602    u. cun 2972   (/)c0 3258   {csn 3406   <.cop 3409   U.cuni 3609   class class class wbr 3793   `'ccnv 4370   dom cdm 4371  tpos ctpos 5893
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-fv 4940  df-tpos 5894
This theorem is referenced by:  ottposg  5904  dmtpos  5905  rntpos  5906  ovtposg  5908  dftpos3  5911  tpostpos  5913
  Copyright terms: Public domain W3C validator