Theorem brun 3979

Description: The union of two binary relations. (Contributed by NM, 21-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
brun	|- ( A ( R u. S ) B <-> ( A R B \/ A S B ) )

Proof of Theorem brun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 3217	. 2 |- ( <. A , B >. e. ( R u. S ) <-> ( <. A , B >. e. R \/ <. A , B >. e. S ) )
2		df-br 3930	. 2 |- ( A ( R u. S ) B <-> <. A , B >. e. ( R u. S ) )
3		df-br 3930	. . 3 |- ( A R B <-> <. A , B >. e. R )
4		df-br 3930	. . 3 |- ( A S B <-> <. A , B >. e. S )
5	3, 4	orbi12i 753	. 2 |- ( ( A R B \/ A S B ) <-> ( <. A , B >. e. R \/ <. A , B >. e. S ) )
6	1, 2, 5	3bitr4i 211	1 |- ( A ( R u. S ) B <-> ( A R B \/ A S B ) )

Syntax hints:   <-> wb 104   \/ wo 697   e. wcel 1480   u. cun 3069   <.cop 3530   class class class wbr 3929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-un 3075  df-br 3930

This theorem is referenced by:  dmun  4746  qfto  4928  poleloe  4938  cnvun  4944  coundi  5040  coundir  5041  brdifun  6456  ltxrlt  7830  ltxr  9562