ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  btwnnz Unicode version

Theorem btwnnz 8558
Description: A number between an integer and its successor is not an integer. (Contributed by NM, 3-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
btwnnz  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  A  <  B  /\  B  <  ( A  +  1 ) )  ->  -.  B  e.  ZZ )

Proof of Theorem btwnnz
StepHypRef Expression
1 zltp1le 8522 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  <  B  <->  ( A  +  1 )  <_  B ) )
2 peano2z 8504 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  +  1 )  e.  ZZ )
3 zre 8472 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( A  +  1 )  e.  RR )
42, 3syl 14 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  +  1 )  e.  RR )
5 zre 8472 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  RR )
6 lenlt 7290 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  +  1 )  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  + 
1 )  <_  B  <->  -.  B  <  ( A  +  1 ) ) )
74, 5, 6syl2an 283 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  + 
1 )  <_  B  <->  -.  B  <  ( A  +  1 ) ) )
81, 7bitrd 186 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  <  B  <->  -.  B  <  ( A  +  1 ) ) )
98biimpd 142 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  <  B  ->  -.  B  <  ( A  +  1 ) ) )
109impancom 256 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  A  <  B )  -> 
( B  e.  ZZ  ->  -.  B  <  ( A  +  1 ) ) )
1110con2d 587 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  A  <  B )  -> 
( B  <  ( A  +  1 )  ->  -.  B  e.  ZZ ) )
12113impia 1136 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  A  <  B  /\  B  <  ( A  +  1 ) )  ->  -.  B  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 920    e. wcel 1434   class class class wbr 3806  (class class class)co 5564   RRcr 7078   1c1 7080    + caddc 7082    < clt 7251    <_ cle 7252   ZZcz 8468
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-cnex 7165  ax-resscn 7166  ax-1cn 7167  ax-1re 7168  ax-icn 7169  ax-addcl 7170  ax-addrcl 7171  ax-mulcl 7172  ax-addcom 7174  ax-addass 7176  ax-distr 7178  ax-i2m1 7179  ax-0lt1 7180  ax-0id 7182  ax-rnegex 7183  ax-cnre 7185  ax-pre-ltirr 7186  ax-pre-ltwlin 7187  ax-pre-lttrn 7188  ax-pre-ltadd 7190
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2826  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-br 3807  df-opab 3861  df-id 4077  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fv 4961  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-pnf 7253  df-mnf 7254  df-xr 7255  df-ltxr 7256  df-le 7257  df-sub 7384  df-neg 7385  df-inn 8143  df-n0 8392  df-z 8469
This theorem is referenced by:  gtndiv  8559  3halfnz  8561  nonsq  10776
  Copyright terms: Public domain W3C validator