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Theorem caovlem2d 5724
Description: Rearrangement of expression involving multiplication ( G) and addition ( F). (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caovdilemd.com  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x G y )  =  ( y G x ) )
caovdilemd.distr  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x F y ) G z )  =  ( ( x G z ) F ( y G z ) ) )
caovdilemd.ass  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )
caovdilemd.cl  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x G y )  e.  S )
caovdilemd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
caovdilemd.b  |-  ( ph  ->  B  e.  S )
caovdilemd.c  |-  ( ph  ->  C  e.  S )
caovdilemd.d  |-  ( ph  ->  D  e.  S )
caovdilemd.h  |-  ( ph  ->  H  e.  S )
caovdl2.6  |-  ( ph  ->  R  e.  S )
caovdl2.com  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x F y )  =  ( y F x ) )
caovdl2.ass  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x F y ) F z )  =  ( x F ( y F z ) ) )
caovdl2.cl  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x F y )  e.  S )
Assertion
Ref Expression
caovlem2d  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A G C ) F ( B G D ) ) G H ) F ( ( ( A G D ) F ( B G C ) ) G R ) )  =  ( ( A G ( ( C G H ) F ( D G R ) ) ) F ( B G ( ( C G R ) F ( D G H ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, z, A    x, B, y, z    x, C, y, z    x, D, y, z    ph, x, y, z   
x, F, y, z   
x, G, y, z   
x, H, y, z   
x, R, y, z   
x, S, y, z

Proof of Theorem caovlem2d
Dummy variables  s  r  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caovdilemd.cl . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x G y )  e.  S )
2 caovdilemd.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
3 caovdilemd.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  S )
4 caovdilemd.h . . . . 5  |-  ( ph  ->  H  e.  S )
51, 3, 4caovcld 5685 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C G H )  e.  S )
61, 2, 5caovcld 5685 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A G ( C G H ) )  e.  S )
7 caovdilemd.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  S )
8 caovdilemd.d . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  S )
91, 8, 4caovcld 5685 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D G H )  e.  S )
101, 7, 9caovcld 5685 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B G ( D G H ) )  e.  S )
11 caovdl2.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  S )
121, 8, 11caovcld 5685 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D G R )  e.  S )
131, 2, 12caovcld 5685 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A G ( D G R ) )  e.  S )
14 caovdl2.com . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x F y )  =  ( y F x ) )
15 caovdl2.ass . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x F y ) F z )  =  ( x F ( y F z ) ) )
161, 3, 11caovcld 5685 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C G R )  e.  S )
171, 7, 16caovcld 5685 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B G ( C G R ) )  e.  S )
18 caovdl2.cl . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x F y )  e.  S )
196, 10, 13, 14, 15, 17, 18caov42d 5718 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A G ( C G H ) ) F ( B G ( D G H ) ) ) F ( ( A G ( D G R ) ) F ( B G ( C G R ) ) ) )  =  ( ( ( A G ( C G H ) ) F ( A G ( D G R ) ) ) F ( ( B G ( C G R ) ) F ( B G ( D G H ) ) ) ) )
20 caovdilemd.com . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x G y )  =  ( y G x ) )
21 caovdilemd.distr . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x F y ) G z )  =  ( ( x G z ) F ( y G z ) ) )
22 caovdilemd.ass . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )
2320, 21, 22, 1, 2, 7, 3, 8, 4caovdilemd 5723 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A G C ) F ( B G D ) ) G H )  =  ( ( A G ( C G H ) ) F ( B G ( D G H ) ) ) )
2420, 21, 22, 1, 2, 7, 8, 3, 11caovdilemd 5723 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A G D ) F ( B G C ) ) G R )  =  ( ( A G ( D G R ) ) F ( B G ( C G R ) ) ) )
2523, 24oveq12d 5561 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A G C ) F ( B G D ) ) G H ) F ( ( ( A G D ) F ( B G C ) ) G R ) )  =  ( ( ( A G ( C G H ) ) F ( B G ( D G H ) ) ) F ( ( A G ( D G R ) ) F ( B G ( C G R ) ) ) ) )
26 simpr1 945 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  x  e.  S )
2718caovclg 5684 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  S  /\  s  e.  S ) )  -> 
( r F s )  e.  S )
2827caovclg 5684 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( y F z )  e.  S )
29283adantr1 1098 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( y F z )  e.  S )
3026, 29jca 300 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( x  e.  S  /\  ( y F z )  e.  S ) )
3120caovcomg 5687 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  S  /\  s  e.  S ) )  -> 
( r G s )  =  ( s G r ) )
3231caovcomg 5687 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  (
y F z )  e.  S ) )  ->  ( x G ( y F z ) )  =  ( ( y F z ) G x ) )
3330, 32syldan 276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( x G ( y F z ) )  =  ( ( y F z ) G x ) )
34 3anrot 925 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  <->  ( y  e.  S  /\  z  e.  S  /\  x  e.  S )
)
3521caovdirg 5709 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  S  /\  s  e.  S  /\  t  e.  S ) )  -> 
( ( r F s ) G t )  =  ( ( r G t ) F ( s G t ) ) )
3635caovdirg 5709 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( ( y F z ) G x )  =  ( ( y G x ) F ( z G x ) ) )
3734, 36sylan2b 281 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( y F z ) G x )  =  ( ( y G x ) F ( z G x ) ) )
3820eqcomd 2087 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( y G x )  =  ( x G y ) )
39383adantr3 1100 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( y G x )  =  ( x G y ) )
4031caovcomg 5687 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( z G x )  =  ( x G z ) )
4140ancom2s 531 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( z G x )  =  ( x G z ) )
42413adantr2 1099 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( z G x )  =  ( x G z ) )
4339, 42oveq12d 5561 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( y G x ) F ( z G x ) )  =  ( ( x G y ) F ( x G z ) ) )
4433, 37, 433eqtrd 2118 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( x G ( y F z ) )  =  ( ( x G y ) F ( x G z ) ) )
4544, 2, 5, 12caovdid 5707 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A G ( ( C G H ) F ( D G R ) ) )  =  ( ( A G ( C G H ) ) F ( A G ( D G R ) ) ) )
4644, 7, 16, 9caovdid 5707 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B G ( ( C G R ) F ( D G H ) ) )  =  ( ( B G ( C G R ) ) F ( B G ( D G H ) ) ) )
4745, 46oveq12d 5561 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A G ( ( C G H ) F ( D G R ) ) ) F ( B G ( ( C G R ) F ( D G H ) ) ) )  =  ( ( ( A G ( C G H ) ) F ( A G ( D G R ) ) ) F ( ( B G ( C G R ) ) F ( B G ( D G H ) ) ) ) )
4819, 25, 473eqtr4d 2124 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A G C ) F ( B G D ) ) G H ) F ( ( ( A G D ) F ( B G C ) ) G R ) )  =  ( ( A G ( ( C G H ) F ( D G R ) ) ) F ( B G ( ( C G R ) F ( D G H ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434  (class class class)co 5543
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-un 2978  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-iota 4897  df-fv 4940  df-ov 5546
This theorem is referenced by:  mulasssrg  6997
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