Theorem caovord2d 5933

Description: Operation ordering law with commuted arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
caovordg.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( x R y <-> ( z F x ) R ( z F y ) ) )
caovordd.2	|- ( ph -> A e. S )
caovordd.3	|- ( ph -> B e. S )
caovordd.4	|- ( ph -> C e. S )
caovord2d.com	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) = ( y F x ) )

Assertion

Ref	Expression
caovord2d	|- ( ph -> ( A R B <-> ( A F C ) R ( B F C ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z   x, C, y, z   ph, x, y, z   x, F, y, z   x, R, y, z   x, S, y, z

Proof of Theorem caovord2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caovordg.1	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( x R y <-> ( z F x ) R ( z F y ) ) )
2		caovordd.2	. . 3 |- ( ph -> A e. S )
3		caovordd.3	. . 3 |- ( ph -> B e. S )
4		caovordd.4	. . 3 |- ( ph -> C e. S )
5	1, 2, 3, 4	caovordd 5932	. 2 |- ( ph -> ( A R B <-> ( C F A ) R ( C F B ) ) )
6		caovord2d.com	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) = ( y F x ) )
7	6, 4, 2	caovcomd 5920	. . 3 |- ( ph -> ( C F A ) = ( A F C ) )
8	6, 4, 3	caovcomd 5920	. . 3 |- ( ph -> ( C F B ) = ( B F C ) )
9	7, 8	breq12d 3937	. 2 |- ( ph -> ( ( C F A ) R ( C F B ) <-> ( A F C ) R ( B F C ) ) )
10	5, 9	bitrd 187	1 |- ( ph -> ( A R B <-> ( A F C ) R ( B F C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-iota 5083  df-fv 5126  df-ov 5770

This theorem is referenced by:  caovord3d  5934  genplt2i  7311  addnqprllem  7328  addnqprulem  7329  mulnqprl  7369  mulnqpru  7370  distrlem4prl  7385  distrlem4pru  7386  1idprl  7391  1idpru  7392  ltexprlemdisj  7407  ltexprlemloc  7408  ltexprlemfl  7410  ltexprlemfu  7412  prplnqu  7421  recexprlem1ssl  7434  recexprlem1ssu  7435  aptiprleml  7440  aptiprlemu  7441  caucvgprlemcanl  7445  cauappcvgprlemlol  7448  cauappcvgprlemloc  7453  cauappcvgprlemladdfu  7455  cauappcvgprlemladdru  7457  cauappcvgprlemladdrl  7458  cauappcvgprlem1  7460  caucvgprlemnkj  7467  caucvgprlemnbj  7468  caucvgprlemlol  7471  caucvgprlemloc  7476  caucvgprlemladdfu  7478  caucvgprlemladdrl  7479  caucvgprprlemnkltj  7490  caucvgprprlemnbj  7494  caucvgprprlemmu  7496  caucvgprprlemlol  7499  caucvgprprlemloc  7504  caucvgprprlemexbt  7507  caucvgprprlemexb  7508  caucvgprprlemaddq  7509  lttrsr  7563  ltsosr  7565  prsrlt  7588  caucvgsrlemoffcau  7599  caucvgsrlemoffgt1  7600  caucvgsrlemoffres  7601  caucvgsr  7603