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Theorem cau3lem 10879
Description: Lemma for cau3 10880. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cau3lem.1 |- Z C_ ZZ
cau3lem.2 |- ( ta -> ps )
cau3lem.3 |- ( ( F ` k ) = ( F ` j ) -> ( ps <-> ch ) )
cau3lem.4 |- ( ( F ` k ) = ( F ` m ) -> ( ps <-> th ) )
cau3lem.5 |- ( ( ph /\ ch /\ ps ) -> ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) = ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) )
cau3lem.6 |- ( ( ph /\ th /\ ch ) -> ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) = ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) )
cau3lem.7 |- ( ( ph /\ ( ps /\ th ) /\ ( ch /\ x e. RR ) ) -> ( ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
Assertion
Ref Expression
cau3lem |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
Distinct variable groups:   k, m, ch   x, k, D, m   k, F, m, x   j, k, m, x, ph   k, G, m, x   ps, m, x   ta, x   th, k   x, Z
Allowed substitution hints:   ps( j, k)   ch( x, j)   th( x, j, m)   ta( j, k, m)   D( j)   F( j)   G( j)   Z( j, k, m)
Proof of Theorem cau3lem
Dummy variable z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3928 . . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x <-> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z ) )
21anbi2d 459 . . . . 5 |- ( x = z -> ( ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) <-> ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z ) ) )
32rexralbidv 2459 . . . 4 |- ( x = z -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z ) ) )
43cbvralv 2652 . . 3 |- ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) <-> A. z e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z ) )
5 rphalfcl 9462 . . . . . . 7 |- ( x e. RR+ -> ( x / 2 ) e. RR+ )
6 breq2 3928 . . . . . . . . . 10 |- ( z = ( x / 2 ) -> ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z <-> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
76anbi2d 459 . . . . . . . . 9 |- ( z = ( x / 2 ) -> ( ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z ) <-> ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
87rexralbidv 2459 . . . . . . . 8 |- ( z = ( x / 2 ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z ) <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
98rspcv 2780 . . . . . . 7 |- ( ( x / 2 ) e. RR+ -> ( A. z e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
105, 9syl 14 . . . . . 6 |- ( x e. RR+ -> ( A. z e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
1110adantl 275 . . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( A. z e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
12 cau3lem.2 . . . . . . . . . 10 |- ( ta -> ps )
1312ralimi 2493 . . . . . . . . 9 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps )
14 r19.26 2556 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) <-> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
15 fveq2 5414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = m -> ( F ` k ) = ( F ` m ) )
16 cau3lem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` k ) = ( F ` m ) -> ( ps <-> th ) )
1715, 16syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = m -> ( ps <-> th ) )
1815oveq1d 5782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = m -> ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) = ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) )
1918fveq2d 5418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = m -> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) = ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) )
2019breq1d 3934 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = m -> ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) <-> ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
2117, 20anbi12d 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = m -> ( ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) <-> ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
2221cbvralv 2652 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) <-> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
2322biimpi 119 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
2423a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
2514, 24syl5bir 152 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
2625expdimp 257 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
27 cau3lem.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- Z C_ ZZ
2827sseli 3088 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. Z -> j e. ZZ )
29 uzid 9333 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ZZ -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
3028, 29syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. Z -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
31 fveq2 5414 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = j -> ( F ` k ) = ( F ` j ) )
32 cau3lem.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` k ) = ( F ` j ) -> ( ps <-> ch ) )
3331, 32syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = j -> ( ps <-> ch ) )
3433rspcva 2782 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. ( ZZ>= ` j ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ch )
3530, 34sylan 281 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ch )
3635adantll 467 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ch )
3726, 36jctild 314 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) ) )
38 simplll 522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> ph )
39 simplrr 525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> th )
40 simplrl 524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> ch )
41 cau3lem.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ph /\ th /\ ch ) -> ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) = ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) )
4238, 39, 40, 41syl3anc 1216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) = ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) )
4342breq1d 3934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> ( ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) <-> ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
4443anbi2d 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> ( ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) <-> ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
45 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> ps )
46 simpllr 523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> x e. RR+ )
4746rpred 9476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> x e. RR )
48 cau3lem.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ph /\ ( ps /\ th ) /\ ( ch /\ x e. RR ) ) -> ( ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
4938, 45, 39, 40, 47, 48syl122anc 1225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> ( ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
5044, 49sylbid 149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> ( ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
5150expd 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
5251impr 376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
5352an32s 557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ( ch /\ th ) ) -> ( ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
5453anassrs 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ch ) /\ th ) -> ( ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
5554expimpd 360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ch ) -> ( ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
5655ralimdv 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ch ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
5756impr 376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x )
5857an32s 557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) ) /\ ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x )
5958expr 372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) ) /\ ps ) -> ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
60 uzss 9339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( ZZ>= ` k ) C_ ( ZZ>= ` j ) )
61 ssralv 3156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ZZ>= ` k ) C_ ( ZZ>= ` j ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
6260, 61syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
6359, 62sylan9 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) ) /\ ps ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
6463an32s 557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ps ) -> ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
6564expimpd 360 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
6665ralimdva 2497 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
6766ex 114 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
6867com23 78 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
6968adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
7014, 69syl5bir 152 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
7170expdimp 257 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
7237, 71mpdd 41 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
7313, 72sylan2 284 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
7473imdistanda 444 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
75 r19.26 2556 . . . . . . 7 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) <-> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
76 r19.26 2556 . . . . . . 7 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) <-> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
7774, 75, 763imtr4g 204 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
7877reximdva 2532 . . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
7911, 78syld 45 . . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( A. z e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
8079ralrimdva 2510 . . 3 |- ( ph -> ( A. z e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
814, 80syl5bi 151 . 2 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
82 fveq2 5414 . . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> ( ZZ>= ` k ) = ( ZZ>= ` j ) )
8331oveq1d 5782 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = j -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) = ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) )
8483fveq2d 5418 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) = ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) )
8584breq1d 3934 . . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x <-> ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
8682, 85raleqbidv 2636 . . . . . . . . . . 11 |- ( k = j -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x <-> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
8786rspcv 2780 . . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( ZZ>= ` j ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
8887ad2antlr 480 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
89 fveq2 5414 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = k -> ( F ` m ) = ( F ` k ) )
9089oveq2d 5783 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = k -> ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) = ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) )
9190fveq2d 5418 . . . . . . . . . . . 12 |- ( m = k -> ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) = ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) )
9291breq1d 3934 . . . . . . . . . . 11 |- ( m = k -> ( ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < x <-> ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) < x ) )
9392cbvralv 2652 . . . . . . . . . 10 |- ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) < x )
9434anim2i 339 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( j e. ( ZZ>= ` j ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) ) -> ( ph /\ ch ) )
9594anassrs 397 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ( ph /\ ch ) )
96 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps )
97 cau3lem.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ch /\ ps ) -> ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) = ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) )
9897breq1d 3934 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ch /\ ps ) -> ( ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) < x <-> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) )
99983expia 1183 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ch ) -> ( ps -> ( ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) < x <-> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
10099ralimdv 2498 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ch ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) < x <-> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
10195, 96, 100sylc 62 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) < x <-> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) )
102 ralbi 2562 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) < x <-> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) )
103101, 102syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) )
10493, 103syl5bb 191 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) )
10588, 104sylibd 148 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) )
10613, 105sylan2 284 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) )
107106imdistanda 444 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
10830, 107sylan2 284 . . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
109 r19.26 2556 . . . . 5 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) <-> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) )
110108, 76, 1093imtr4g 204 . . . 4 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
111110reximdva 2532 . . 3 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
112111ralimdv 2498 . 2 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
11381, 112impbid 128 1 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2414   E.wrex 2415   C_ wss 3066   class class class wbr 3924   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   RRcr 7612   < clt 7793   / cdiv 8425   2c2 8764   ZZcz 9047   ZZ>=cuz 9319   RR+crp 9434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-2 8772  df-z 9048  df-uz 9320  df-rp 9435
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