Theorem cau4 10129

Description: Change the base of a Cauchy criterion. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cau3.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
cau4.2	|- W = ( ZZ>= ` N )

Assertion

Ref	Expression
cau4	|- ( N e. Z -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) )

Distinct variable groups:   j, k, x, F   j, M, k, x   j, N, k, x   j, Z, k, x   j, W, k, x

Proof of Theorem cau4

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 8694	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
2		cau3.1	. . . . . . 7 |- Z = ( ZZ>= ` M )
3	2	rexuz3 10003	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ A. y e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` y ) ) ) < x ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ A. y e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` y ) ) ) < x ) ) )
4	1, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ A. y e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` y ) ) ) < x ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ A. y e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` y ) ) ) < x ) ) )
5		eluzelz 8698	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
6		cau4.2	. . . . . . 7 |- W = ( ZZ>= ` N )
7	6	rexuz3 10003	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ A. y e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` y ) ) ) < x ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ A. y e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` y ) ) ) < x ) ) )
8	5, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ A. y e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` y ) ) ) < x ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ A. y e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` y ) ) ) < x ) ) )
9	4, 8	bitr4d 189	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ A. y e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` y ) ) ) < x ) <-> E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ A. y e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` y ) ) ) < x ) ) )
10	9, 2	eleq2s 2174	. . 3 |- ( N e. Z -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ A. y e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` y ) ) ) < x ) <-> E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ A. y e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` y ) ) ) < x ) ) )
11	10	ralbidv 2369	. 2 |- ( N e. Z -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ A. y e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` y ) ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ A. y e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` y ) ) ) < x ) ) )
12	2	cau3 10128	. 2 |- ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ A. y e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` y ) ) ) < x ) )
13	6	cau3 10128	. 2 |- ( A. x e. RR+ E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ A. y e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` y ) ) ) < x ) )
14	11, 12, 13	3bitr4g 221	1 |- ( N e. Z -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1285   e. wcel 1434   A.wral 2349   E.wrex 2350   class class class wbr 3787   ` cfv 4926  (class class class)co 5537   CCcc 7030   < clt 7204   - cmin 7335   ZZcz 8421   ZZ>=cuz 8689   RR+crp 8804   abscabs 10010

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3895  ax-sep 3898  ax-nul 3906  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-iinf 4331  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-1re 7121  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-mulrcl 7126  ax-addcom 7127  ax-mulcom 7128  ax-addass 7129  ax-mulass 7130  ax-distr 7131  ax-i2m1 7132  ax-0lt1 7133  ax-1rid 7134  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-precex 7137  ax-cnre 7138  ax-pre-ltirr 7139  ax-pre-ltwlin 7140  ax-pre-lttrn 7141  ax-pre-apti 7142  ax-pre-ltadd 7143  ax-pre-mulgt0 7144  ax-pre-mulext 7145  ax-arch 7146  ax-caucvg 7147

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3253  df-if 3354  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-tr 3878  df-id 4050  df-po 4053  df-iso 4054  df-iord 4123  df-on 4125  df-ilim 4126  df-suc 4128  df-iom 4334  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-f1 4931  df-fo 4932  df-f1o 4933  df-fv 4934  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-frec 6034  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-xr 7208  df-ltxr 7209  df-le 7210  df-sub 7337  df-neg 7338  df-reap 7731  df-ap 7738  df-div 7817  df-inn 8096  df-2 8154  df-3 8155  df-4 8156  df-n0 8345  df-z 8422  df-uz 8690  df-rp 8805  df-iseq 9511  df-iexp 9562  df-cj 9856  df-re 9857  df-im 9858  df-rsqrt 10011  df-abs 10012

This theorem is referenced by:  climcaucn  10315