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Theorem cauappcvgprlem1 6815
Description: Lemma for cauappcvgpr 6818. Part of showing the putative limit to be a limit. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f  |-  ( ph  ->  F : Q. --> Q. )
cauappcvgpr.app  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
cauappcvgpr.bnd  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A  <Q  ( F `  p ) )
cauappcvgpr.lim  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.
cauappcvgprlem.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  Q. )
cauappcvgprlem.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Q. )
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlem1  |-  ( ph  -> 
<. { l  |  l 
<Q  ( F `  Q
) } ,  {
u  |  ( F `
 Q )  <Q  u } >.  <P  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( Q  +Q  R ) } ,  { u  |  ( Q  +Q  R )  <Q  u } >. ) )
Distinct variable groups:    A, p    L, p, q    ph, p, q    F, p, q, l, u    Q, p, q, l, u    R, p, q, l, u
Allowed substitution hints:    ph( u, l)    A( u, q, l)    L( u, l)

Proof of Theorem cauappcvgprlem1
Dummy variables  f  g  h  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cauappcvgprlem.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Q. )
2 halfnqq 6566 . . . . 5  |-  ( R  e.  Q.  ->  E. x  e.  Q.  ( x  +Q  x )  =  R )
31, 2syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  Q.  ( x  +Q  x
)  =  R )
4 simprl 491 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  ->  x  e.  Q. )
5 cauappcvgpr.app . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
65adantr 265 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
7 cauappcvgprlem.q . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Q  e.  Q. )
87adantr 265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  ->  Q  e.  Q. )
9 fveq2 5206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  =  Q  ->  ( F `  p )  =  ( F `  Q ) )
10 oveq1 5547 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  Q  ->  (
p  +Q  q )  =  ( Q  +Q  q ) )
1110oveq2d 5556 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  =  Q  ->  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  =  ( ( F `
 q )  +Q  ( Q  +Q  q
) ) )
129, 11breq12d 3805 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  =  Q  ->  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  <->  ( F `  Q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( Q  +Q  q ) ) ) )
139, 10oveq12d 5558 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  =  Q  ->  (
( F `  p
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  =  ( ( F `
 Q )  +Q  ( Q  +Q  q
) ) )
1413breq2d 3804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  =  Q  ->  (
( F `  q
)  <Q  ( ( F `
 p )  +Q  ( p  +Q  q
) )  <->  ( F `  q )  <Q  (
( F `  Q
)  +Q  ( Q  +Q  q ) ) ) )
1512, 14anbi12d 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  =  Q  ->  (
( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( F `  q )  <Q  (
( F `  p
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )  <->  ( ( F `
 Q )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  ( Q  +Q  q ) )  /\  ( F `  q )  <Q  (
( F `  Q
)  +Q  ( Q  +Q  q ) ) ) ) )
16 fveq2 5206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( q  =  x  ->  ( F `  q )  =  ( F `  x ) )
17 oveq2 5548 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( q  =  x  ->  ( Q  +Q  q )  =  ( Q  +Q  x
) )
1816, 17oveq12d 5558 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( q  =  x  ->  (
( F `  q
)  +Q  ( Q  +Q  q ) )  =  ( ( F `
 x )  +Q  ( Q  +Q  x
) ) )
1918breq2d 3804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  =  x  ->  (
( F `  Q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( Q  +Q  q
) )  <->  ( F `  Q )  <Q  (
( F `  x
)  +Q  ( Q  +Q  x ) ) ) )
2017oveq2d 5556 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( q  =  x  ->  (
( F `  Q
)  +Q  ( Q  +Q  q ) )  =  ( ( F `
 Q )  +Q  ( Q  +Q  x
) ) )
2116, 20breq12d 3805 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  =  x  ->  (
( F `  q
)  <Q  ( ( F `
 Q )  +Q  ( Q  +Q  q
) )  <->  ( F `  x )  <Q  (
( F `  Q
)  +Q  ( Q  +Q  x ) ) ) )
2219, 21anbi12d 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  =  x  ->  (
( ( F `  Q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( Q  +Q  q ) )  /\  ( F `  q )  <Q  (
( F `  Q
)  +Q  ( Q  +Q  q ) ) )  <->  ( ( F `
 Q )  <Q 
( ( F `  x )  +Q  ( Q  +Q  x ) )  /\  ( F `  x )  <Q  (
( F `  Q
)  +Q  ( Q  +Q  x ) ) ) ) )
2315, 22rspc2v 2685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  ( A. p  e. 
Q.  A. q  e.  Q.  ( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( F `  q )  <Q  (
( F `  p
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )  ->  ( ( F `  Q )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  ( Q  +Q  x ) )  /\  ( F `  x )  <Q  (
( F `  Q
)  +Q  ( Q  +Q  x ) ) ) ) )
248, 4, 23syl2anc 397 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( A. p  e. 
Q.  A. q  e.  Q.  ( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( F `  q )  <Q  (
( F `  p
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )  ->  ( ( F `  Q )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  ( Q  +Q  x ) )  /\  ( F `  x )  <Q  (
( F `  Q
)  +Q  ( Q  +Q  x ) ) ) ) )
256, 24mpd 13 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( ( F `  Q )  <Q  (
( F `  x
)  +Q  ( Q  +Q  x ) )  /\  ( F `  x )  <Q  (
( F `  Q
)  +Q  ( Q  +Q  x ) ) ) )
2625simpld 109 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( F `  Q
)  <Q  ( ( F `
 x )  +Q  ( Q  +Q  x
) ) )
27 cauappcvgpr.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : Q. --> Q. )
2827adantr 265 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  ->  F : Q. --> Q. )
2928, 4ffvelrnd 5331 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( F `  x
)  e.  Q. )
30 addassnqg 6538 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  Q.  /\  Q  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  x )  +Q  Q
)  +Q  x )  =  ( ( F `
 x )  +Q  ( Q  +Q  x
) ) )
3129, 8, 4, 30syl3anc 1146 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( ( ( F `
 x )  +Q  Q )  +Q  x
)  =  ( ( F `  x )  +Q  ( Q  +Q  x ) ) )
3226, 31breqtrrd 3818 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( F `  Q
)  <Q  ( ( ( F `  x )  +Q  Q )  +Q  x ) )
33 ltanqg 6556 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  (
f  <Q  g  <->  ( h  +Q  f )  <Q  (
h  +Q  g ) ) )
3433adantl 266 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x
)  =  R ) )  /\  ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e. 
Q. ) )  -> 
( f  <Q  g  <->  ( h  +Q  f ) 
<Q  ( h  +Q  g
) ) )
3527, 7ffvelrnd 5331 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  Q
)  e.  Q. )
3635adantr 265 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( F `  Q
)  e.  Q. )
37 addclnq 6531 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  Q.  /\  Q  e.  Q. )  ->  ( ( F `  x )  +Q  Q
)  e.  Q. )
3829, 8, 37syl2anc 397 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( ( F `  x )  +Q  Q
)  e.  Q. )
39 addclnq 6531 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F `  x )  +Q  Q
)  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  ( ( ( F `
 x )  +Q  Q )  +Q  x
)  e.  Q. )
4038, 4, 39syl2anc 397 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( ( ( F `
 x )  +Q  Q )  +Q  x
)  e.  Q. )
41 addcomnqg 6537 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )  ->  ( f  +Q  g
)  =  ( g  +Q  f ) )
4241adantl 266 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x
)  =  R ) )  /\  ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. ) )  -> 
( f  +Q  g
)  =  ( g  +Q  f ) )
4334, 36, 40, 4, 42caovord2d 5698 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( ( F `  Q )  <Q  (
( ( F `  x )  +Q  Q
)  +Q  x )  <-> 
( ( F `  Q )  +Q  x
)  <Q  ( ( ( ( F `  x
)  +Q  Q )  +Q  x )  +Q  x ) ) )
4432, 43mpbid 139 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( ( F `  Q )  +Q  x
)  <Q  ( ( ( ( F `  x
)  +Q  Q )  +Q  x )  +Q  x ) )
45 addassnqg 6538 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F `  x )  +Q  Q
)  e.  Q.  /\  x  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  (
( ( ( F `
 x )  +Q  Q )  +Q  x
)  +Q  x )  =  ( ( ( F `  x )  +Q  Q )  +Q  ( x  +Q  x
) ) )
4638, 4, 4, 45syl3anc 1146 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( ( ( ( F `  x )  +Q  Q )  +Q  x )  +Q  x
)  =  ( ( ( F `  x
)  +Q  Q )  +Q  ( x  +Q  x ) ) )
47 simprr 492 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( x  +Q  x
)  =  R )
4847oveq2d 5556 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( ( ( F `
 x )  +Q  Q )  +Q  (
x  +Q  x ) )  =  ( ( ( F `  x
)  +Q  Q )  +Q  R ) )
491adantr 265 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  ->  R  e.  Q. )
50 addassnqg 6538 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  Q.  /\  Q  e.  Q.  /\  R  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  x )  +Q  Q
)  +Q  R )  =  ( ( F `
 x )  +Q  ( Q  +Q  R
) ) )
5129, 8, 49, 50syl3anc 1146 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( ( ( F `
 x )  +Q  Q )  +Q  R
)  =  ( ( F `  x )  +Q  ( Q  +Q  R ) ) )
5246, 48, 513eqtrd 2092 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( ( ( ( F `  x )  +Q  Q )  +Q  x )  +Q  x
)  =  ( ( F `  x )  +Q  ( Q  +Q  R ) ) )
5344, 52breqtrd 3816 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( ( F `  Q )  +Q  x
)  <Q  ( ( F `
 x )  +Q  ( Q  +Q  R
) ) )
54 oveq2 5548 . . . . . . 7  |-  ( q  =  x  ->  (
( F `  Q
)  +Q  q )  =  ( ( F `
 Q )  +Q  x ) )
5516oveq1d 5555 . . . . . . 7  |-  ( q  =  x  ->  (
( F `  q
)  +Q  ( Q  +Q  R ) )  =  ( ( F `
 x )  +Q  ( Q  +Q  R
) ) )
5654, 55breq12d 3805 . . . . . 6  |-  ( q  =  x  ->  (
( ( F `  Q )  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( Q  +Q  R
) )  <->  ( ( F `  Q )  +Q  x )  <Q  (
( F `  x
)  +Q  ( Q  +Q  R ) ) ) )
5756rspcev 2673 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  ( ( F `  Q )  +Q  x
)  <Q  ( ( F `
 x )  +Q  ( Q  +Q  R
) ) )  ->  E. q  e.  Q.  ( ( F `  Q )  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( Q  +Q  R
) ) )
584, 53, 57syl2anc 397 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  ->  E. q  e.  Q.  ( ( F `  Q )  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( Q  +Q  R
) ) )
593, 58rexlimddv 2454 . . 3  |-  ( ph  ->  E. q  e.  Q.  ( ( F `  Q )  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( Q  +Q  R
) ) )
60 cauappcvgpr.bnd . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A  <Q  ( F `  p ) )
61 cauappcvgpr.lim . . . . . . . 8  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.
62 addclnq 6531 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Q  e.  Q.  /\  R  e.  Q. )  ->  ( Q  +Q  R
)  e.  Q. )
637, 1, 62syl2anc 397 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Q  +Q  R
)  e.  Q. )
6427, 5, 60, 61, 63cauappcvgprlemladd 6814 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q 
( Q  +Q  R
) } ,  {
u  |  ( Q  +Q  R )  <Q  u } >. )  =  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( Q  +Q  R
) ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  ( Q  +Q  R ) ) 
<Q  u } >. )
6564fveq2d 5210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( Q  +Q  R ) } ,  { u  |  ( Q  +Q  R )  <Q  u } >. ) )  =  ( 1st `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( Q  +Q  R
) ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  ( Q  +Q  R ) ) 
<Q  u } >. )
)
66 nqex 6519 . . . . . . . 8  |-  Q.  e.  _V
6766rabex 3929 . . . . . . 7  |-  { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  ( Q  +Q  R ) ) }  e.  _V
6866rabex 3929 . . . . . . 7  |-  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  ( Q  +Q  R
) )  <Q  u }  e.  _V
6967, 68op1st 5801 . . . . . 6  |-  ( 1st `  <. { l  e. 
Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( Q  +Q  R ) ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  ( Q  +Q  R
) )  <Q  u } >. )  =  {
l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( Q  +Q  R
) ) }
7065, 69syl6eq 2104 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( Q  +Q  R ) } ,  { u  |  ( Q  +Q  R )  <Q  u } >. ) )  =  { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( Q  +Q  R
) ) } )
7170eleq2d 2123 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F `  Q )  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( Q  +Q  R ) } ,  { u  |  ( Q  +Q  R )  <Q  u } >. ) )  <->  ( F `  Q )  e.  {
l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( Q  +Q  R
) ) } ) )
72 oveq1 5547 . . . . . . . 8  |-  ( l  =  ( F `  Q )  ->  (
l  +Q  q )  =  ( ( F `
 Q )  +Q  q ) )
7372breq1d 3802 . . . . . . 7  |-  ( l  =  ( F `  Q )  ->  (
( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( Q  +Q  R
) )  <->  ( ( F `  Q )  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
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7473rexbidv 2344 . . . . . 6  |-  ( l  =  ( F `  Q )  ->  ( E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( Q  +Q  R
) )  <->  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 Q )  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( Q  +Q  R ) ) ) )
7574elrab3 2722 . . . . 5  |-  ( ( F `  Q )  e.  Q.  ->  (
( F `  Q
)  e.  { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  ( Q  +Q  R ) ) }  <->  E. q  e.  Q.  ( ( F `  Q )  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( Q  +Q  R
) ) ) )
7635, 75syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F `  Q )  e.  {
l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( Q  +Q  R
) ) }  <->  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 Q )  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( Q  +Q  R ) ) ) )
7771, 76bitrd 181 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F `  Q )  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( Q  +Q  R ) } ,  { u  |  ( Q  +Q  R )  <Q  u } >. ) )  <->  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 Q )  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
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7859, 77mpbird 160 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  Q
)  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q 
( Q  +Q  R
) } ,  {
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7927, 5, 60, 61cauappcvgprlemcl 6809 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  P. )
80 nqprlu 6703 . . . . 5  |-  ( ( Q  +Q  R )  e.  Q.  ->  <. { l  |  l  <Q  ( Q  +Q  R ) } ,  { u  |  ( Q  +Q  R
)  <Q  u } >.  e. 
P. )
8163, 80syl 14 . . . 4  |-  ( ph  -> 
<. { l  |  l 
<Q  ( Q  +Q  R
) } ,  {
u  |  ( Q  +Q  R )  <Q  u } >.  e.  P. )
82 addclpr 6693 . . . 4  |-  ( ( L  e.  P.  /\  <. { l  |  l 
<Q  ( Q  +Q  R
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u  |  ( Q  +Q  R )  <Q  u } >.  e.  P. )  ->  ( L  +P.  <. { l  |  l 
<Q  ( Q  +Q  R
) } ,  {
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8379, 81, 82syl2anc 397 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q 
( Q  +Q  R
) } ,  {
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84 nqprl 6707 . . 3  |-  ( ( ( F `  Q
)  e.  Q.  /\  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( Q  +Q  R ) } ,  { u  |  ( Q  +Q  R
)  <Q  u } >. )  e.  P. )  -> 
( ( F `  Q )  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( Q  +Q  R ) } ,  { u  |  ( Q  +Q  R )  <Q  u } >. ) )  <->  <. { l  |  l  <Q  ( F `  Q ) } ,  { u  |  ( F `  Q )  <Q  u } >.  <P  ( L  +P.  <. { l  |  l 
<Q  ( Q  +Q  R
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8535, 83, 84syl2anc 397 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F `  Q )  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( Q  +Q  R ) } ,  { u  |  ( Q  +Q  R )  <Q  u } >. ) )  <->  <. { l  |  l  <Q  ( F `  Q ) } ,  { u  |  ( F `  Q )  <Q  u } >.  <P  ( L  +P.  <. { l  |  l 
<Q  ( Q  +Q  R
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u  |  ( Q  +Q  R )  <Q  u } >. ) ) )
8678, 85mpbid 139 1  |-  ( ph  -> 
<. { l  |  l 
<Q  ( F `  Q
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u  |  ( F `
 Q )  <Q  u } >.  <P  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( Q  +Q  R ) } ,  { u  |  ( Q  +Q  R )  <Q  u } >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    /\ w3a 896    = wceq 1259    e. wcel 1409   {cab 2042   A.wral 2323   E.wrex 2324   {crab 2327   <.cop 3406   class class class wbr 3792   -->wf 4926   ` cfv 4930  (class class class)co 5540   1stc1st 5793   Q.cnq 6436    +Q cplq 6438    <Q cltq 6441   P.cnp 6447    +P. cpp 6449    <P cltp 6451
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-iplp 6624  df-iltp 6626
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemlim  6817
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