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Theorem cauappcvgprlemdisj 6807
Description: Lemma for cauappcvgpr 6818. The putative limit is disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f  |-  ( ph  ->  F : Q. --> Q. )
cauappcvgpr.app  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
cauappcvgpr.bnd  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A  <Q  ( F `  p ) )
cauappcvgpr.lim  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemdisj  |-  ( ph  ->  A. s  e.  Q.  -.  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )
Distinct variable groups:    A, p    L, p, q    ph, p, q    L, s    A, s, p    F, l, u, p, q, s    ph, s
Allowed substitution hints:    ph( u, l)    A( u, q, l)    L( u, l)

Proof of Theorem cauappcvgprlemdisj
Dummy variables  f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cauappcvgpr.app . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
2 simpl 106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) )  ->  ( F `  p )  <Q  ( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) ) )
32ralimi 2401 . . . . . . . 8  |-  ( A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) )  ->  A. q  e.  Q.  ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )
43ralimi 2401 . . . . . . 7  |-  ( A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  ( ( F `
 p )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) )  /\  ( F `
 q )  <Q 
( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) )  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e. 
Q.  ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )
51, 4syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  ( F `  p )  <Q  ( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) ) )
65adantr 265 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L
)  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e. 
Q.  ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )
7 oveq1 5547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  =  s  ->  (
l  +Q  q )  =  ( s  +Q  q ) )
87breq1d 3802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  s  ->  (
( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  ( s  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
) )
98rexbidv 2344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  s  ->  ( E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
) )
10 cauappcvgpr.lim . . . . . . . . . . . . 13  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.
1110fveq2i 5209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1st `  L )  =  ( 1st `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
) } ,  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >. )
12 nqex 6519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Q.  e.  _V
1312rabex 3929 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
) }  e.  _V
1412rabex 3929 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  u }  e.  _V
1513, 14op1st 5801 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1st `  <. { l  e. 
Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q )  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  u } >. )  =  {
l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) }
1611, 15eqtri 2076 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1st `  L )  =  {
l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) }
179, 16elrab2 2723 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( 1st `  L
)  <->  ( s  e. 
Q.  /\  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
) )
1817simprbi 264 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( 1st `  L
)  ->  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
)
19 oveq2 5548 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  p  ->  (
s  +Q  q )  =  ( s  +Q  p ) )
20 fveq2 5206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  p  ->  ( F `  q )  =  ( F `  p ) )
2119, 20breq12d 3805 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  p  ->  (
( s  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  ( s  +Q  p )  <Q  ( F `  p )
) )
2221cbvrexv 2551 . . . . . . . . 9  |-  ( E. q  e.  Q.  (
s  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
)  <->  E. p  e.  Q.  ( s  +Q  p
)  <Q  ( F `  p ) )
2318, 22sylib 131 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( 1st `  L
)  ->  E. p  e.  Q.  ( s  +Q  p )  <Q  ( F `  p )
)
24 breq2 3796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  s  ->  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u  <->  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )
2524rexbidv 2344 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  s  ->  ( E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u  <->  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  s
) )
2610fveq2i 5209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2nd `  L )  =  ( 2nd `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
) } ,  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >. )
2713, 14op2nd 5802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2nd `  <. { l  e. 
Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q )  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  u } >. )  =  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u }
2826, 27eqtri 2076 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2nd `  L )  =  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u }
2925, 28elrab2 2723 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( 2nd `  L
)  <->  ( s  e. 
Q.  /\  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  s
) )
3029simprbi 264 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( 2nd `  L
)  ->  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  s
)
3123, 30anim12i 325 . . . . . . 7  |-  ( ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L
) )  ->  ( E. p  e.  Q.  ( s  +Q  p
)  <Q  ( F `  p )  /\  E. q  e.  Q.  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) )
32 reeanv 2496 . . . . . . 7  |-  ( E. p  e.  Q.  E. q  e.  Q.  (
( s  +Q  p
)  <Q  ( F `  p )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s )  <->  ( E. p  e.  Q.  (
s  +Q  p ) 
<Q  ( F `  p
)  /\  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  s
) )
3331, 32sylibr 141 . . . . . 6  |-  ( ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L
) )  ->  E. p  e.  Q.  E. q  e. 
Q.  ( ( s  +Q  p )  <Q 
( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )
3433adantl 266 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L
)  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  ->  E. p  e.  Q.  E. q  e. 
Q.  ( ( s  +Q  p )  <Q 
( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )
356, 34r19.29d2r 2472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L
)  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  ->  E. p  e.  Q.  E. q  e. 
Q.  ( ( F `
 p )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) )  /\  ( ( s  +Q  p ) 
<Q  ( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) ) )
36 simprl 491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  (
( s  +Q  p
)  <Q  ( F `  p )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) )  -> 
( s  +Q  p
)  <Q  ( F `  p ) )
37 simpl 106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  (
( s  +Q  p
)  <Q  ( F `  p )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) )  -> 
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) ) )
3836, 37jca 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  (
( s  +Q  p
)  <Q  ( F `  p )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) )  -> 
( ( s  +Q  p )  <Q  ( F `  p )  /\  ( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) ) ) )
3917simplbi 263 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  ( 1st `  L
)  ->  s  e.  Q. )
4039adantr 265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L
) )  ->  s  e.  Q. )
4140ad3antlr 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  s  e.  Q. )
42 simplr 490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  p  e.  Q. )
43 addclnq 6531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  e.  Q.  /\  p  e.  Q. )  ->  ( s  +Q  p
)  e.  Q. )
4441, 42, 43syl2anc 397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
s  +Q  p )  e.  Q. )
45 cauappcvgpr.f . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F : Q. --> Q. )
4645ad3antrrr 469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  F : Q. --> Q. )
4746, 42ffvelrnd 5331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  ( F `  p )  e.  Q. )
48 simpr 107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  q  e.  Q. )
4946, 48ffvelrnd 5331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  ( F `  q )  e.  Q. )
50 addclnq 6531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  e.  Q.  /\  q  e.  Q. )  ->  ( p  +Q  q
)  e.  Q. )
5142, 48, 50syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
p  +Q  q )  e.  Q. )
52 addclnq 6531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  q
)  e.  Q.  /\  ( p  +Q  q
)  e.  Q. )  ->  ( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) )  e.  Q. )
5349, 51, 52syl2anc 397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  e.  Q. )
54 ltsonq 6554 . . . . . . . . . . . . 13  |-  <Q  Or  Q.
55 sotr 4083 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 
<Q  Or  Q.  /\  (
( s  +Q  p
)  e.  Q.  /\  ( F `  p )  e.  Q.  /\  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  e.  Q. ) )  ->  ( ( ( s  +Q  p ) 
<Q  ( F `  p
)  /\  ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )  ->  ( s  +Q  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) ) )
5654, 55mpan 408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( s  +Q  p
)  e.  Q.  /\  ( F `  p )  e.  Q.  /\  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  e.  Q. )  -> 
( ( ( s  +Q  p )  <Q 
( F `  p
)  /\  ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )  ->  ( s  +Q  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) ) )
5744, 47, 53, 56syl3anc 1146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( s  +Q  p )  <Q  ( F `  p )  /\  ( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) ) )  -> 
( s  +Q  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) ) ) )
5838, 57syl5 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( ( s  +Q  p )  <Q 
( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )  ->  (
s  +Q  p ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
59 simprr 492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  (
( s  +Q  p
)  <Q  ( F `  p )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) )  -> 
( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  s )
6059a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( ( s  +Q  p )  <Q 
( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )  ->  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) )
6158, 60jcad 295 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( ( s  +Q  p )  <Q 
( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )  ->  (
( s  +Q  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) ) )
62 addcomnqg 6537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  Q.  /\  p  e.  Q. )  ->  ( s  +Q  p
)  =  ( p  +Q  s ) )
6341, 42, 62syl2anc 397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
s  +Q  p )  =  ( p  +Q  s ) )
64 addcomnqg 6537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )  ->  ( f  +Q  g
)  =  ( g  +Q  f ) )
6564adantl 266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  (
f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )
)  ->  ( f  +Q  g )  =  ( g  +Q  f ) )
66 addassnqg 6538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  (
( f  +Q  g
)  +Q  h )  =  ( f  +Q  ( g  +Q  h
) ) )
6766adantl 266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  (
f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. ) )  -> 
( ( f  +Q  g )  +Q  h
)  =  ( f  +Q  ( g  +Q  h ) ) )
6849, 42, 48, 65, 67caov12d 5710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  =  ( p  +Q  ( ( F `  q )  +Q  q
) ) )
6963, 68breq12d 3805 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( s  +Q  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  <->  ( p  +Q  s )  <Q  (
p  +Q  ( ( F `  q )  +Q  q ) ) ) )
7069anbi1d 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( s  +Q  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  s
)  <->  ( ( p  +Q  s )  <Q 
( p  +Q  (
( F `  q
)  +Q  q ) )  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q 
s ) ) )
7161, 70sylibd 142 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( ( s  +Q  p )  <Q 
( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )  ->  (
( p  +Q  s
)  <Q  ( p  +Q  ( ( F `  q )  +Q  q
) )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) ) )
72 addclnq 6531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  q
)  e.  Q.  /\  q  e.  Q. )  ->  ( ( F `  q )  +Q  q
)  e.  Q. )
7349, 48, 72syl2anc 397 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( F `  q
)  +Q  q )  e.  Q. )
74 ltanqg 6556 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  Q.  /\  ( ( F `  q )  +Q  q
)  e.  Q.  /\  p  e.  Q. )  ->  ( s  <Q  (
( F `  q
)  +Q  q )  <-> 
( p  +Q  s
)  <Q  ( p  +Q  ( ( F `  q )  +Q  q
) ) ) )
7541, 73, 42, 74syl3anc 1146 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
s  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <->  ( p  +Q  s )  <Q  (
p  +Q  ( ( F `  q )  +Q  q ) ) ) )
7675anbi1d 446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( s  <Q  (
( F `  q
)  +Q  q )  /\  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  s
)  <->  ( ( p  +Q  s )  <Q 
( p  +Q  (
( F `  q
)  +Q  q ) )  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q 
s ) ) )
7771, 76sylibrd 162 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( ( s  +Q  p )  <Q 
( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )  ->  (
s  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  q )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) ) )
78 so2nr 4086 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 
<Q  Or  Q.  /\  (
s  e.  Q.  /\  ( ( F `  q )  +Q  q
)  e.  Q. )
)  ->  -.  (
s  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  q )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) )
7954, 78mpan 408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  Q.  /\  ( ( F `  q )  +Q  q
)  e.  Q. )  ->  -.  ( s  <Q 
( ( F `  q )  +Q  q
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )
8041, 73, 79syl2anc 397 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  -.  ( s  <Q  (
( F `  q
)  +Q  q )  /\  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  s
) )
8180pm2.21d 559 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( s  <Q  (
( F `  q
)  +Q  q )  /\  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  s
)  -> F.  )
)
8277, 81syld 44 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( ( s  +Q  p )  <Q 
( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )  -> F.  ) )
8382rexlimdva 2450 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L
) ) )  /\  p  e.  Q. )  ->  ( E. q  e. 
Q.  ( ( F `
 p )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) )  /\  ( ( s  +Q  p ) 
<Q  ( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )  -> F.  ) )
8483rexlimdva 2450 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L
)  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  ->  ( E. p  e.  Q.  E. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  (
( s  +Q  p
)  <Q  ( F `  p )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) )  -> F.  ) )
8535, 84mpd 13 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L
)  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  -> F.  )
8685inegd 1279 . 2  |-  ( ph  ->  -.  ( s  e.  ( 1st `  L
)  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )
8786ralrimivw 2410 1  |-  ( ph  ->  A. s  e.  Q.  -.  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    /\ w3a 896    = wceq 1259   F. wfal 1264    e. wcel 1409   A.wral 2323   E.wrex 2324   {crab 2327   <.cop 3406   class class class wbr 3792    Or wor 4060   -->wf 4926   ` cfv 4930  (class class class)co 5540   1stc1st 5793   2ndc2nd 5794   Q.cnq 6436    +Q cplq 6438    <Q cltq 6441
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-ltnqqs 6509
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemcl  6809
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