ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgprlemk Unicode version

Theorem caucvgprlemk 7441
Description: Lemma for caucvgpr 7458. Reciprocals of positive integers decrease as the positive integers increase. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgprlemk.jk  |-  ( ph  ->  J  <N  K )
caucvgprlemk.jkq  |-  ( ph  ->  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  Q )
Assertion
Ref Expression
caucvgprlemk  |-  ( ph  ->  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  Q )

Proof of Theorem caucvgprlemk
StepHypRef Expression
1 caucvgprlemk.jk . . . 4  |-  ( ph  ->  J  <N  K )
2 ltrelpi 7100 . . . . . . 7  |-  <N  C_  ( N.  X.  N. )
32brel 4561 . . . . . 6  |-  ( J 
<N  K  ->  ( J  e.  N.  /\  K  e.  N. ) )
41, 3syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J  e.  N.  /\  K  e.  N. )
)
5 ltnnnq 7199 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  N.  /\  K  e.  N. )  ->  ( J  <N  K  <->  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [
<. K ,  1o >. ]  ~Q  ) )
64, 5syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( J  <N  K  <->  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [
<. K ,  1o >. ]  ~Q  ) )
71, 6mpbid 146 . . 3  |-  ( ph  ->  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )
8 ltrnqi 7197 . . 3  |-  ( [
<. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  ->  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  ) )
97, 8syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  )
)
10 caucvgprlemk.jkq . 2  |-  ( ph  ->  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  Q )
11 ltsonq 7174 . . 3  |-  <Q  Or  Q.
12 ltrelnq 7141 . . 3  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
1311, 12sotri 4904 . 2  |-  ( ( ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  )  /\  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  Q )  ->  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  Q )
149, 10, 13syl2anc 408 1  |-  ( ph  ->  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  Q )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1465   <.cop 3500   class class class wbr 3899   ` cfv 5093   1oc1o 6274   [cec 6395   N.cnpi 7048    <N clti 7051    ~Q ceq 7055   Q.cnq 7056   *Qcrq 7060    <Q cltq 7061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-eprel 4181  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-1o 6281  df-oadd 6285  df-omul 6286  df-er 6397  df-ec 6399  df-qs 6403  df-ni 7080  df-mi 7082  df-lti 7083  df-mpq 7121  df-enq 7123  df-nqqs 7124  df-mqqs 7126  df-1nqqs 7127  df-rq 7128  df-ltnqqs 7129
This theorem is referenced by:  caucvgprlem1  7455  caucvgprlem2  7456
  Copyright terms: Public domain W3C validator