ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgprlemk Unicode version

Theorem caucvgprlemk 6906
Description: Lemma for caucvgpr 6923. Reciprocals of positive integers decrease as the positive integers increase. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgprlemk.jk  |-  ( ph  ->  J  <N  K )
caucvgprlemk.jkq  |-  ( ph  ->  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  Q )
Assertion
Ref Expression
caucvgprlemk  |-  ( ph  ->  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  Q )

Proof of Theorem caucvgprlemk
StepHypRef Expression
1 caucvgprlemk.jk . . . 4  |-  ( ph  ->  J  <N  K )
2 ltrelpi 6565 . . . . . . 7  |-  <N  C_  ( N.  X.  N. )
32brel 4412 . . . . . 6  |-  ( J 
<N  K  ->  ( J  e.  N.  /\  K  e.  N. ) )
41, 3syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J  e.  N.  /\  K  e.  N. )
)
5 ltnnnq 6664 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  N.  /\  K  e.  N. )  ->  ( J  <N  K  <->  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [
<. K ,  1o >. ]  ~Q  ) )
64, 5syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( J  <N  K  <->  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [
<. K ,  1o >. ]  ~Q  ) )
71, 6mpbid 145 . . 3  |-  ( ph  ->  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )
8 ltrnqi 6662 . . 3  |-  ( [
<. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  ->  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  ) )
97, 8syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  )
)
10 caucvgprlemk.jkq . 2  |-  ( ph  ->  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  Q )
11 ltsonq 6639 . . 3  |-  <Q  Or  Q.
12 ltrelnq 6606 . . 3  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
1311, 12sotri 4744 . 2  |-  ( ( ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  )  /\  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  Q )  ->  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  Q )
149, 10, 13syl2anc 403 1  |-  ( ph  ->  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  Q )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    e. wcel 1434   <.cop 3403   class class class wbr 3787   ` cfv 4926   1oc1o 6052   [cec 6163   N.cnpi 6513    <N clti 6516    ~Q ceq 6520   Q.cnq 6521   *Qcrq 6525    <Q cltq 6526
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3895  ax-sep 3898  ax-nul 3906  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-iinf 4331
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3253  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-tr 3878  df-eprel 4046  df-id 4050  df-po 4053  df-iso 4054  df-iord 4123  df-on 4125  df-suc 4128  df-iom 4334  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-f1 4931  df-fo 4932  df-f1o 4933  df-fv 4934  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-irdg 6013  df-1o 6059  df-oadd 6063  df-omul 6064  df-er 6165  df-ec 6167  df-qs 6171  df-ni 6545  df-mi 6547  df-lti 6548  df-mpq 6586  df-enq 6588  df-nqqs 6589  df-mqqs 6591  df-1nqqs 6592  df-rq 6593  df-ltnqqs 6594
This theorem is referenced by:  caucvgprlem1  6920  caucvgprlem2  6921
  Copyright terms: Public domain W3C validator